Dérivation terminale L

[Kévinn43130]

Bonjour ou bonsoir
Je sollicite votre aide pour un exercice de mathématiques. Voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur R par :

f(x)= ax^3+bx²+cx+d où a, b, c, d sont quatre nombres réels fixés. C est la courbe représentant f dans un repère du plan. C passe par les points A(0,;1) et B(1;2). La tangente à C en B est horizontale et la tangente à C en A a pour coefficient directeur -1/3.
Déterminer a, b, c, d.

J'en suis arrivé à la conclusion que
f(0)=1
f(1)=2
f'(1)=0
f'(0)=-1/3

Par le calcul j'ai trouvé que f(0)=d=1
Et que f'(x)=3ax^2+2bx+c
Cependant quand j'essaie de calculer en remplaçant je me retrouve bloqué, c'est là que j'ai besoin de vous par exemple pour f(1)=2 j'ai trouvé f(1)=a+b+c+1=2.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Tes équations sont correctes et, si tu remplace les f(?) par leur valeur en fonction de a,b,c,d, ça te donne 4 équations contenant les 4 réels a,b,c,d "à déterminer" (ce qu'on appelle en général "les inconnues" du système).
- Ensuite, effectivement f(0)=1 te donne immédiatement d=1 et ça veut dire que, dans les 3 autres équations, tu peut remplacer d par 1.
- Il te reste donc 3 équations et trois inconnues a,b,c. Et si tu prend par exemple l'équation f(1)=2 ça te dit effectivement que a+b+c+1=2. Et là, l'astuce (si on peut dire...), c'est d'écrire ça par exemple sous la forme c=1-a-b ce qui te donne c en fonction de a et b et dans les deux dernières équations, tu remplace le c par ce 1-a-b ce qui fait que tu n'a plus que deux inconnues a et b (et plus que 2 équations...)
- Ensuite, tu recommence en utilisant une des deux équation pour écrire, par exemple, b en fonction de a puis tu utilise cette égalité pour "éliminer" le b de la dernière équation qui ne contiendra alors que du "a".

Et le tout, ben ça s'appelle "résoudre un système d'équations par substitution" (il y a d'autres méthodes qui peuvent parfois être plus rapide, en particulier par "combinaison linéaires" : une fois que tu aura ta réponse avec la méthode "par substitution", on pourra te montrer comment aller légèrement plus vite)

[Kévinn43130]

Merci pour ton aide vraiment !
Donc est-ce que cela signifie que je peux faire
f'(1)=3ax^2+2bx+(1-a-b)x+1=0 pour trouver b par exemple ?

[LB2]

Bonjour,

quand tu remplaces x par 1, il faut utiliser la formule pour f'(x) en effaçant x et en mettant 1 à la place. On dit qu'on substitue 1 à x.

Donc ici f'(1)=3a*1^2+2b*1+c+d

Essaie d'écrire les 4 équations obtenues avec a,b,c,d, (même si tu sais que d=1 et c=1-a-b) avant de procéder comme t'a dit Ben.

[Kévinn43130]

Rebonjour
J'en suis arrivé à la conclusion que
f(0)=d=1
f(1)=a=1-c-b
f'(1)=b=-1-2a
f'(0)=c=-1/3
Seulement je ne sais pas comment appliquer la résolution par substitution dans ce cas-là.
Auriez vous des conseils ?
Merci d'avance

[LB2]

Tu as presque fini mais il faut trouver la valeur de a,b,c,d.

Tu sais que d=1 et c=-1/3

Il te reste donc a=1-c-b => a=....
b=-1-2a

En combinant ces deux équations tu peux résoudre totalement et trouver les valeurs manquantes, celles de a et b.

Il existe une méthode générale pour résoudre ce genre de système d'équations (cela s'appelle le pivot de Gauss, du nom d'un mathématicien allemand du début du XIXè siècle) mais ici on n'a pas forcément besoin de connaître la méthode générale.

[Kévinn43130]

Ducoup est-ce que l'on peut dire que
a=1-c-b
a=1-(-1/3)-(-1-2a)
?

[LB2]

Exactement, tu obtiens alors une équation où il n'y a plus que du a : c'est une équation du premier degré.
Tu sais normalement la résoudre, on obtient a=-7/3 (je te laisse faire le calcul)

Une fois obtenues les valeurs de a,b,c,d, tu peux vérifier que tes conditions
f(0)=1
f(1)=2
f'(1)=0
f'(0)=-1/3

sont vraies, c'est "magique"!