Demi-tour

[Imod]

Bonjour à tous :zen:

Un problème que j'ai proposé à un autre site sans aucun succès



On recherche un bâton de taille maximale que l'on peut retourner dans une grille cloutée de côté n ( bien sûr on ne traverse pas les clous ni le cadre ) .

Amusez-vous bien :zen:

Imod

[Doraki]

Ca m'a vraiment pas l'air simple.

A priori on démarre au milieu et on se glisse entre les clous tout en se tournant petit à petit jusqu'à finir dans l'autre sens ?

est-ce qu'avec une grille infinie on peut faire retourner des batons arbitrairement longs ?

[Imod]

Avec une grille infinie la réponse est clairement oui .

Imod

[Archytas]

Coucou ! Je dirais pour toute aiguille de longueur inférieure strictement à parce que c'est clair que si c'est plus grand on peut pas ne serait-ce que bouger l'aiguille de sa rangée initiale (avec Thalès). Pis après c'est carrément plus simple de la retourner successivement de petits angles en évitant les poteaux !
Je vais essayer de vous faire un petit dessin pour le machin de thalès mais je suis pas bien doué en info donc je sais pas si vous arriverez à le voir !
PS: j'ai rien démontré donc je propose juste une hypothèse qui pourrait marcher selon moi !! Je dis pas que c'est vrai !
PS²: ça ressemble un peu à la question de Kakeya ce problème, tu t'en es pas inspiré ?
Oups c'est pas mais d'après Pythagore

[Archytas]

[Imod]

Bonjour Archytas :zen:

Si tu pouvais développer un peu ton argument , je n'ai pas l'impression que ce soit aussi simple .

Pour répondre plus précisément à Doraki : une baguette finie a un nombre fini de positions ( angles ) s'appuyant sur le quadrillage et une petite translation de la baguette permet une petite rotation dans le bon sens ...

Imod

[Archytas]

Aïe, bon en fait c'est surtout pour majorer la taille de la baguette par le machin en fonction de n. En bref, notre chère baguette ou aiguille est prisonnière de la colonne où elle est si sa taille dépasse (parce que si on en prend une plus grande, on aura beau la coller le plus possible en haut à gauche ou en haut à droite l'autre extrémité sera bloquée par le clou opposé... je sais pas si je suis clair :/) et ensuite ça m'a l'air de fonctionner pour la balader un peu partout parce que notre baguette se retrouve dans une rangée "plus oblique" et a donc "plus de liberté". Mais pour ce dernier point je suis carrément moins sur parce que certes on pourra plus la balader le long de sa direction mais elle aura moins de "liberté rotative" on pourra moins la tourner quoi et donc je sais pas si ma condition sur n (que je suis quasi certain qu'elle est nécessaire) est suffisante pour la retourner... J'essaierai de voir ça demain ou dans la semaine de manière plus rigoureuse et en enlevant les guillemets ! Enfin en attendant si ça inspire quelqu'un ou que quelqu'un voit une saloperie dans mon raisonnement qu'il le dise.

[Imod]

Si on note la taille de la plus grande tige que l'on peut retourner dans un grille de taille , on a :

1°) croissante .
2°) , pour et entiers .
3°) est entier .

Sauf erreur , les premières valeurs de la suite

La tige semble bloquer régulièrement sur les parallèles aux côtés et diagonales de la grille , je ne sais pas s'il y a quelque chose à tirer de tout ça .

Imod

[Imod]

Peut-être est-il plus simple d'envisager dans un premier temps la tige dans une bande de largeur .

Le problème est apparemment assez costaud et on est pas mal à sécher dessus :marteau:

Bon courage :zen:

Imod

[Imod]

Ce problème date un peu mais la dernière question m'intrigue toujours ( j'ai quelques éléments de réponse ) : Quelle est la plus grande aiguille que l'on peut retourner dans une bande cloutée de largeur n ?

Imod

[Ben314]

Salut.
Tes dessins ont disparu, mais je pense comprendre ce qu'est une "grille clouté de coté n" : mathématiqiement parlant c'est le carré [0,n]^2 privé des points à coordonnées entière. C'est bien ça ?

Par contre, je vois pas trop ce qu'est une "bande cloutée de largeur n" : c'est la même chose ?

[Imod]

Oui Ben , les dessins ont disparu et je n'ai pas trop envie de chercher un nouveau site pour les héberger

Dans le problème initial , l'aiguille devait se retourner dans un carré nXn avec des clous à chaque point (i,j) à coordonnées entières . Je propose qu'on cherche le problème plus simple dans lequel l'aiguille se déplace dans une bande de largeur n mais illimitée en haut et en bas .

Imod

[Ben314]

J'aurais tendance à conjecturer que, là où ça bloque le plus, c'est lorsque la tige est à l'horizontale.
Et, sauf erreur (et si ), pour pouvoir la décoincer dans un tel cas, il faut que sa longueur soit inférieure à

EDIT : En réfléchissant un peu plus, c'est pas clair que ça soit forcément là que "ça coince le plus"

[Imod]

En effet Ben , ça ne marche plus dès que n=6 .

Imod

[Imod]

Les premières valeurs que j'ai trouvées :

Attention la régularité apparente peut se rompre

Je n'ai pas forcément la meilleure stratégie .

Imod

[LB2]

Bonjour,

ça a un rapport avec ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3% ... _de_Kakeya ?

[Ben314]

Sur la problématique de départ, oui, c'est lié, mais ensuite ça ne l'est plus vraiment : dans l'article, ce qu'on s'autorise à faire, c'est à modifier l'ensemble avec comme objectif de rendre sa mesure (= surface) la plus petite possible. Alors que là, la "forme" de l'ensemble (=la bande cloutée) est parfaitement fixée.

[Ben314]

Je me demande s'il n'y a pas une représentation graphique du bidule qui permettrais de répondre à la question (ou au moins d'y voir plus clair).
On considère le rectangle qu'on regarde comme un tore (i.e. les bords haut et bas du rectangle sont confondus ainsi que les bord droit et la gauche). A tout point du rectangle, on associe la droite de la bande cloutée (munie d'un repère) passant par le point et faisant un angle de avec l'horizontale (1).
Si la droite en question passe par un clou, on marque le point correspondant sur le rectangle en rouge ce qui, au final, trace des courbes rouges dans le rectangle qui définissent différentes composantes connexes du tore. Ensuite, si je me goure pas (au niveau de l'intuition), de se donner une certaine taille (limitée) L d'aiguille, ça va faire disparaître certains morceaux de ligne rouge (2) et donc diminuer petit à petit le nombre de composantes connexes. Le but étant de diminuer L juste assez pour n'avoir plus qu'une seule composante connexe ou alors d'avoir deux points et dans une même composante : je sais pas si c'est équivalent...
Si on arrive à comprendre quels sont les morceaux de ligne rouge qui disparaissent pour un L donné, on pourrait faire un programme qui trace les ligne rouges (pour un n donné et avec un curseur pour faire varier L) ce qui permettrait d'émettre de "bonnes conjectures" sur où se situe le problème.

(1) y'a un petit problème avec le lorsque : faudrait sans doute changer légèrement la modélisation...
(2) Le tout c'est de comprendre lesquels, mais ça me semble assez simple : il faut regarder les différents clous par lesquels passe la droite plus les extrémités (= bord de la bande) et regarder si la distance max entre deux points successifs est supérieure ou pas à L.

[Imod]

Je ne pense pas que cette modélisation rende vraiment compte de la complexité du problème . Il me semble ( mais je peux me tromper ) que les manœuvres principales consistent à faire tourner l'aiguille autour d'un clou ou à faire passer des clous d'un bord à l'autre de l'aiguille par une translation dans la direction de l'aiguille .

Imod

[Ben314]

Dessin correspondant à l'idée de mon précédent post :
https://www.geogebra.org/classic/bfcsrgxz
Et si je me goure pas trop, la valeur maximale de la longueur, c'est la plus petite des deux valeur de où prend les deux valeur entières qui encadrent .

Exemples :
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