Démonstration

[Georges10]

Bonsoir à tous
exo :
Demontrer que parmi cinq entiers relatifs on peut toujours en choisir trois dont la somme est divisible par 3
Voilà ce que je voulu faire.

Je suppose k, k+1, k+2, k+3, k+4 ( k appartient à Z ) cinq entiers relatifs
Ensuite, je vais en choisir trois pour montrer que leur somme est divisible par 3
Je vais continuer ainsi de suite de telle sorte tous les cas soient traités
Et par finir, conclure que dans tous les cas, on peut toujours en choisir trois dont la somme est divisible par 3.
J'aimerais savoir si c'est le seul chemin,

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
Une chose est sure c'est que t'es mal parti. Parce que les 5 nombres n'ont aucune raison d'être consécutifs.

Si je peux t'aider tu peux supposer qu'ils sont pris dans [[0,2]]

[pascal16]

k, k+1, k+2, k+3, k+4

si k est multiple de 3.
k, k+1, k+2 ont leur somme divisible par 3

si k est de la forme 3p+1.
k, k+1, k+4 ont leur somme divisible par 3

....

[Georges10]

Bonjour
Une chose est sure c'est que t'es mal parti. Parce que les 5 nombres n'ont aucune raison d'être consécutifs.

Oui tu as raison mais puisqu'on nous a demander de montrer que c'est vraie alors je pense si je trouve un exemple où ça marche, c'est suffisant

[aviateur]

Mais déjà tout le monde sait que la somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3.
Alors un exemple tel que celui là n'est pas représentatif.
L'exercice c'est que tu prendre 5 nbre au hasard. Il n'y a pas de quintuplet particulier représentatif.
Suit mon indication la solution est facile.

Et puis un exemple ne démontre rien.

2 est pair alors tous les entiers sont pairs?

[Lostounet]

Salut,
Tout d'abord il faut comprendre ce que dit l'énoncé.

Prenons n'importe quels entiers entiers relatifs:
1; 20 ; 32; 5; -10

Alors on peut en choisir 3 tels que la somme de ces trois soit divisible par 3. Donc ici par exemple:
20+32+5=57 (et 57=3*19 donc divisible par 3)!.

Maintenant si tu regardes bien, tu vois que au lieu de regarder TOUSSSS LES NOMBREEEES qui existent, tu peux raisonner modulo 3. Voici une méthode élémentaire possible:

Donc choisir d'abord 5 entiers quelconques a' ; b' ; c'; d' et e'.
Ensuite considère les entiers a tel que a'=a [mod 3] où a est compris entre 0 et 2.
Idem b'=b mod [3] etc...

Donc en fait tu associes à chaque 5 uplet possible un 5 uplet d'éléments de 0 1 2.
Pourrais-tu me donner à quel 5-uplet est-ce que:
(1; 20 ; 32; 5; -10) correspond par exemple? (Si tu m'as suivi)

[chan79]

Salut
On a 5 nombres a, b, c, d et e.
Si chacune des 10 sommes (de 3 de ces 5 nombres) était égale à 1 ou -1 (modulo 3), on arrive à une contradiction en ajoutant ces sommes ...

[Ben314]

Salut,
Perso, je ferais plutôt comme le dit Lostounet : on regarde combien on en a dans chaque classe modulo 3 :
- S'il y en a 3 dans une même classe, alors la somme de ces trois là est divisible par 3.
- Sinon, c'est qu'il y en a au moins un par classe (car 2+2<5) et en en ajoutant un de chaque classe, ça fait de nouveau un multiple de 3.

Et de chercher à écrire ça avec "le symbolisme moderne" (i.e. de donner des noms aux entiers et d'écrire des "vraies équations" plutôt que des phrases en Français), ça me semble aller plutôt dans la direction d’obscurcir l'idée plutôt que de l'éclairer.

[Georges10]

Merci pour vos réponses