Pleins de petites questions en algèbre

[Aispor]

Bonjours, j'ai plusieurs petites question où je bloque, la première est sur les groupes symétriques, dans la démonstration suivante je n'ai pas compris légalité que j'ai entouré (donc pour passer de haut en bas)

[pascal16]

i et j sont des variables muettes, il manque l'étape qui inverse les indices i et j du second produit pour comprendre la transformation. tu as alors i<j d'un coté et j<i de l'autre et le signe s'inverse devant sigma pour le produit de droite.

[Aispor]

Ah oui en effet merci !
Je me permet de poursuivre la série
J'ai un peu de mal sur les opérations de division "à divise b" parce que je n'ai pas fait le cours ^^ donc je connais juste les bases sur les opérations de divisions. En particulier il y a quelques hics qui font que je ne comprend pas toute la démonstration sur les groupes abelien finis. Nottamement:

1. Si k entier, k divise p^(n+m) avec p un nombre premier
Alors k est une puissance de p.

2.le seul diviseur de |G| est p (premier)
Alors |G| est une puissance de p.

Comment comprendre ceci rapidement ?merci

[Rdvn]

Bonjour
Organise toi une révision sur l'arithmétique "Terminale scientifique-spécialité math" : les réponses aux deux questions que tu poses sont des conséquences directes du théorème principal de l'arithmétique : soit n un entier, n>1, alors n est, de façon unique, le produit d'entiers premiers (l'unicité se comprenant : sans tenir compte de l'ordre des facteurs) , pour la 2) il n'y a aucun intérêt à faire intervenir un groupe G : c'est vrai pour n>1.
Bon courage
Rdvn

[pascal16]

1. Si k entier, k divise p^(n+m) avec p un nombre premier
Alors k est une puissance de p.

p^(n+m) avec p un nombre premier
-> est un nombre qui a comme décomposition en facteur premiers p^q, avec q=n+m

-> les diviseurs de p^(n+m) n'admettent comme décomposition en facteur premier qu'un seul facteur premier : p et sa puissance est entre 0 et q

[Aispor]

Merci à vous deux.
En effet la décomposition en facteurs premiers est bien utile je ne savais pas que c'était du programme de terminale spé maths x)

[Aispor]

Alors voici la suite :
Dans un exercice, on avait deux questions assez similaires :
1. Construire dans R un sous groupe isomorphe à Z^n pour n entier quelconque. En deduire que R n'est pas de type fini.
2. Montrer que tout sous groupe de type fini est isomorphe à Z. Monter que Q n'est pas de type fini.

Pour la premier question,
On a construit un isomorphisme f, qui va de Z^n dans R+* et qui a (x1,....,xn) renvoie p1^(x1).......pn^(xn) où les p1 ... pn sont n nombres premiers distincts.
Ensuite on a pas conclue sur le fait que R n'est pas de type fini
J'ai pensé raisonner par l'absurde mais on nous a dit de faire attention, que si on a des propriétés sur G un groupe ayant certaines propriétés, à priori on ne sait presque rien sur les propriété des sous groupes de G. Or ici on a travaillé que avec des sous groupes, de R+*.

Pour la deuxième question, on a montrer que tout sous groupe de Q de type fini était mogène. Ainsi j'ai raisonne aussi par l'absurde, si Q était de type fini, il serait mogene. Soit alors r appartenant à Q tq Q=<r> alors r/2 n'appartient pas à Q. Absurde.

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,

1. Construire dans R un sous groupe isomorphe à Z^n pour n entier quelconque. En deduire que R n'est pas de type fini.
2. Montrer que tout sous groupe de type fini est isomorphe à Z. Monter que Q n'est pas de type fini.

Face à un tel charabia, je vois pas comment tu peut espérer un jour comprendre quoi que ce soit à la notion de groupes si tu n'est même pas capable de comprendre la définition de ce qu'est un groupe.
Un groupe, c'est la donnée d'un ensemble et d'une loi (interne) sur cet ensemble (vérifaint un certain nombre de propriété à connaître): c'est donc un couple (G,*).
A la rigueur, lorsque l'ensemble en question est quasi systématiquement (dans les exercices) muni de la même loi, on peut se contenter de ne donner que l'ensemble sans la loi, mais bien évidement, c'est à ne faire que lorsque l'on a parfaitement bien compris que c'était un abus de langage (et qu'il n'y aura aucune ambiguïté pour le lecteur à retrouver quelle est la loi).

Quand on lit ton truc, ça commence par "les sous groupes de R" qui est bien évidement un abus de langage vu que tu n'a pas précisé quelle était la loi. Et tout mathématicien qui se respecte se dit que la loi (non précisé) c'est la "loi usuelle" sur R, c'est à dire... l'addition. Et quand on lit plus bas ta "réponse" à cette question 1), ben on écarquille les yeux : visiblement, la loi que tu considère sur R, c'est pas l'addition, mais la multiplication.
Ce qui est totalement débile vu que R muni de la multiplication, ce n'est pas un groupe (tu sait depuis le début du collège que 0 n'a pas d'inverse pour la multiplication). Et "cerise sur le gâteau", ben l'ensemble sous-jacent du groupe en question, c'est plus R comme dans l'énoncé, mais c'est devenu R*+
Idem pour "le groupe Z^n" ou aucune loi n'est précisé (mais là, visiblement, c'est bien de la loi "usuelle" sur Z^n, c'est à dire l'addition dont il est question).
Et c'est pire pour la question 2 : "tout sous groupe de type fini est isomorphe à Z", c'est on ne peut plus clairement faux (Z/2Z,+) est un sous groupe (de (Z/2Z,+)) de type fini et n'est absolument pas isomorphe à (Z,+) (sans parler que de nouveau, le + du groupe (Z,+), on est obligé de le "deviner"). Et pareil pour la fin : "Q n'est pas de type fini" n'a aucun sens vu que Q tout seul (i.e. sans préciser quel est la loi considéré), ça risque pas d'être un groupe.

[Aispor]

Merci pour ta réponse Ben.
Oui enfaite on dit souvent que la loi est sous entendue dans les exos je trouve ça un peu dommage parce que ça peut induire en erreur quand on a pas l'habitude et qu'on début sur les exercices de ce genre ^^'
Enfin du coup j'ai réussi à conclure par des raisonnements par l'absurde ^^

[Ben314]

Moi, je veut bien que ce soit "souvent sous entendu", mais dans ce cas, il faut être archi. rigoureux quand on donne l'ensemble donc par exemple ne pas écrire R lorsqu'il s'agit de R*+ vu que la loi "usuelle" sur R, c'est + alors que la loi "usuelle" sur R*+, c'est x.