DM exponentielle Terminale S

[Kkshiii]

Bonjour à tous, j'ai un DM à rendre pour la rentrée. J'ai déjà fais la plupart des questions mais bloque sur une question en particulier...

Exercice 1 :

Soit la fonction f définie sur R par : f(x)= (x-1)(2-e^x)

1) a. Déterminer f'(x) puis calculer f'(0).
b. Résoudre dans R l'inéquation f'(x) > 2

2) a. Déterminer f''(x) puis étudier les variations de f'(x)
b. En utilisant les résultats des questions précédentes, étudier le signe de f'(x) pour tout x réel.


Donc pour la 1 a pas de souci je trouve f'(x) = 2-2e^(-x) +( e^-x)x
soit f'(x) = 2-e^(-x)(2-x)
Pour f'(0), je trouve 0

Pour la 1b je trouve que les solutions sont ]2;+∞[


Pour la 2a je trouve que f''(x) = 3e^(-x)-e(-x) soit f''(x) = e^-x(3-x)
Puis je dresse un tableau de signe et en déduis donc les variations de f'(x) (ce qui était demandé)

Sauf que la je bloque sur la 2b : je ne comprends pas, pour moi c'est exactement ce que j'ai fais dans la question juste avant??
Donc merci de m'aider..

Si besoin, je pourrais plus détailler les calculs mais la c'est plus un problème d'énoncé donc bon

[aviateur]

Je trouve que f'(x) et d'ailleurs f''(x) sont faux

[pascal16]

f(x)= (x-1)(2-e^x)
c'est pas plutôt f(x)= (x-1)(2-e^(-x)) ? car tu as des exp(-x) dans tes dérivées

f' serait alors juste mais pas f"

[Kkshiii]

ah oui en effet désolé ! en voulant aller trop vite, comme quoi...
donc oui f(x) est bien égale à (x-1)(2-e^(-x)) ^^

[Kkshiii]

par contre je ne comprends pas pourquoi la dérivée serait fausse.. je vous détaille les calculs et le tableau de variation ci dessous :
f''(x) =(2-e(^-x)(2-x))'
f''(x)=-(-e^-x)(2-x)+(-e(^-x))*(-1)
f''(x)=e^(-x)(2-x)+e^(-x)
f''(x)=2e^(-x)-(e^(-x))x+e^(-x)
f''(x)=3e^(-x)-e^(-x)x
= e^(-x)(3-x)

donc pour le tableau de variation :

x -∞ 3 +∞

e(-^x) +
3-x + 0 -
f''(x) + 0 -
f'(x) ↗ f'(3) ↘


voilà merci de m'aider

[aviateur]

A t'on avis du donnes un énoncé faux alors moi je calcule sur cet énoncé.

[Kkshiii]

désolé c'était une faute de frappe

[pascal16]

f''(x) = 3e^(-x)-e(-x) <- celle là était fausse, je suis pas allé plus loin
soit f''(x) = e^-x(3-x) <- mais vu que celle-là était juste, c'était qu'une erreur de frappe.

ok pour le tableau de variations
x -∞ 3 +∞
f''(x) + 0 -
f'(x) ↗ f'(3) ↘


sur [3;+oo[
on f'(3) >0
pour compléter le fait que f'(x)>2 sur au moins [3;+oo[ donc strictement positive
la limite de f' en +oo est 2 (car exp(-x) et xexp(-x) tendent vers 0)

sur ]-oo;3]
on f'(3) >0, f strictement croissante et comme f'(0)=0, c'est la seule valeur pour laquelle elle s'annule
pour compléter
en -oo xexp(-x) est le terme dominant, f' tend vers -oo en -oo

[Kkshiii]

d'accord je vois merci bcp !!