Démonstration par récurrence

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Georges10
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Démonstration par récurrence

par Georges10 » 23 Oct 2018, 11:46

Bonjour à tous.

Svp fait une démonstration par récurrence, j'aimerais que vous regardiez ( surtout l'hérédité )
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Merci d'avance !



pascal16
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Re: Démonstration par récurrence

par pascal16 » 23 Oct 2018, 15:04

Ta Pn est mal écrite, elle déjà que c'est vrai pour n plus grand que 2, donc aussi grand qu'on veut
Pm vraie c'est pour n tel que 2≤n≤m...

J'ai pas compris le calcul
ton calcul revient à passer de l'avant-dernière à la dernière ligne de calcul sans explication, et sans utiliser Pn (je ne vois pas son écriture)

Georges10
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Re: Démonstration par récurrence

par Georges10 » 23 Oct 2018, 16:08

Merci d'avoir répondu
pascal16 a écrit:Ta Pn est mal écrite, elle déjà que c'est vrai pour n plus grand que 2, donc aussi grand qu'on veut
Pm vraie c'est pour n tel que 2≤n≤m...

Je vois, en fait, le fait de dire dans mon hypothèse de récurrence : ∀ m ≥ 2, Pₘ est vraie entraine que est vraie,n'est ce pas ?
Donc je devrais dire Pm vraie c'est pour n tel que 2≤n≤m.
J'ai pas compris le calcul
ton calcul revient à passer de l'avant-dernière à la dernière ligne de calcul sans explication, et sans utiliser Pn (je ne vois pas son écriture)


pour la démonstration de l'hérédité, honnêtement, j'ai eu du mal à demontrer
Je suis parti de
J'ai remplacé n par (m + 1) et je suis remonté à

Voilà un peu ce que j'ai fait.
Merci
Modifié en dernier par Georges10 le 23 Oct 2018, 16:39, modifié 1 fois.

Sylviel
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Re: Démonstration par récurrence

par Sylviel » 23 Oct 2018, 16:21

Si tu remplaces n par m+1 tu es en train d'utiliser la propriété au rang m+1 pour prouver... la propriété au rang m+1.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Georges10
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Re: Démonstration par récurrence

par Georges10 » 23 Oct 2018, 16:26

Sylviel a écrit:Si tu remplaces n par m+1 tu es en train d'utiliser la propriété au rang m+1 pour prouver... la propriété au rang m+1.

Merci pour ta réponse.

En vérité, je ne sais pas comment m'y prendre pour demontrer l'hérédité

pascal16
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Re: Démonstration par récurrence

par pascal16 » 23 Oct 2018, 18:55

pour a différent de b
(a-b)*somme au rang n+1
en isolant le dernier terme de la somme des (a^k)(b^(n-k-1))au rang n+1 et en mettant a en facteur
= (a-b)*( (somme au rang n)*a+b^n)
= (a-b)*((a^n-b^n)*a/(a-b)+b^n)
=(a^n-b^n)*a+ab^n-b^(n+1)
=...

Georges10
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Re: Démonstration par récurrence

par Georges10 » 23 Oct 2018, 19:53

Merci merci et encore merci
J'ai compris
Dieu vous benisse !

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Ben314
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Re: Démonstration par récurrence

par Ben314 » 24 Oct 2018, 04:39

Salut,
A noter quand même qu'il faut être plus que vicieux pour démontrer une telle propriété par récurrence vu que ça oblige à "se gratter le crane" pour savoir comment on va bien pouvoir s'y prendre pour utiliser l'hypothèse de récurrence.
Alors que si on développe sans réfléchir le produit on tombe directement sur le résultat sans la moindre récurrence...
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pascal16
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Re: Démonstration par récurrence

par pascal16 » 24 Oct 2018, 09:36

Etre capable de démontrer une propriété de manière différente, c'est très mathématicien, oui.

Certains refusent les démos par l'absurde car savoir qu'un nombre n'est pas entier ne dit pas si c'est un nombre (oui, il faut aller assez loin dans ce qu'est une négation pour comprendre).
Et s'imposent de ne faire que des démos directes par exemple.

Tu te rappelles d'un des jeux d'hypothèses minimales pour utiliser le delta dans une équation du second degré ?
(untel a un inverse, truc et bidule commutent...).

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Ben314
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Re: Démonstration par récurrence

par Ben314 » 24 Oct 2018, 11:10

De trouver une méthode "plus simple" ou bien "plus jolie" ou bien "utilisant moins de connaissances" ou bien au contraire "avec beaucoup de recul" (i.e. beaucoup de connaissances), voire d'autres arguments, je veut bien, mais là, c'est quand même franchement n'importe quoi.
De ce que je garde comme souvenir de l'époque où j'étais au Lycée (c'est y'a longtemps mais je me rappelle bien que déjà, il y a pas mal de truc que je trouvais bien débile), je pense que face à un exo. de ce style, j'aurais effectivement fait une récurrence (vu que c'est la consigne), mais que "bizarrement", pour l'hérédité, j'aurais démontré P(n+1) sans utiliser P(n) c'est à dire par simple développement. (et je pense même que je me serait abstenu d'un quelconque commentaire concernant le fait que j'avais effectivement démontré que P(n) => P(n+1), mais en fait sans utiliser la véracité de P(n))
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Re: Démonstration par récurrence

par pascal16 » 24 Oct 2018, 11:43

Ben, ça dépend si la question était de démontrer par récurrence ou simplement de démontrer.

Si tu demandes à un élève "démontrer par récurrence" et que sa réponse est "votre question est nulle car c'est pas la récurrence le mieux, je fais la démo directe" tu mets quoi comme note ?

aviateur
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Re: Démonstration par récurrence

par aviateur » 24 Oct 2018, 11:50

Bonjour
Exercice débile :
Démontrer par récurrence que pour tout on a

L'énoncé "normal" doit être

Démontrer que pour tout on a


Du point de vue mathématiques (sauf au tout début du tout début de l'apprentissage de la démonstration par récurrence) il n'est pas normal de demander de démontrer par récurrence.

Il faut tout de même libérer les esprits. Face à une proposition de la forme P(n) à démontrer et bien à 15 ans on doit être capable de réfléchir par soi-même si une démonstration par récurrence est appropriée ou non.
Modifié en dernier par aviateur le 24 Oct 2018, 12:00, modifié 1 fois.

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Re: Démonstration par récurrence

par Ben314 » 24 Oct 2018, 11:56

pascal16 a écrit:Si tu demandes à un élève "démontrer par récurrence" et que sa réponse est "votre question est nulle car c'est pas la récurrence le mieux, je fais la démo directe" tu mets quoi comme note ?
Ca je peut te répondre vu que ça m'est déjà arrivé plusieurs fois (*) : je met au minimum la note maxi de la question, voire même plus vu que l'étudiant à montré qu'il était moins con que moi.

(*) Dans le sens de donner une indication dans un D.S. ou D.M. sans me rendre compte qu'il y avait plus simple que le truc qui m'était venu à l'esprit (par contre pour des "examen officiels", c'est très très rare vu qu'on est systématiquement nombreux à relire l'énoncé).
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