Congruence

[mehdi-128]

Bonjour,

Je comprends pas pourquoi :

Je croyais qu'un reste ne pouvais jamais être négatif

[pascal16]

(-1)/3 = -3 +2 = (-1)*3 +2
2 est le reste de la division euclidienne dans Z de -1 par 3
il se trouve que le quotient est aussi -1


sinon, pense comme dans Z/3Z
-1+3=2 donc -1 et 2 sont dans la même classe

[mehdi-128]

Ah c'est la symétrie de la congruence !

Comme :

alors

[Lostounet]

Bonjour,

Je comprends pas pourquoi :

Je croyais qu'un reste ne pouvais jamais être négatif

Le reste de la division euclidienne non...mais dans les congruences si !
Ça ne semble pas te choquer qu'on puisse dire:
2=5 [ mod 3]

Alors que 5 est plus grand que 3 (un reste ne peut pas être plus grand que le diviseur ?!).

Sauf que ... ça n'a rien à voir dans les modulos.
Dire que a=b [mod n] c'est juste dire que a-b est multiple de n.
Ni plus ni moins...

[Elias]

Il faut revenir à la définition de congruence.

Soient a,b sont deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul.

Dire que signifie que a et b ont le meme reste dans la division euclidienne par n.

Ceci est encore equivalent à dire que n divise a-b.

En particulier, cela signifie que si est le reste dans la division euclidienne de par (avec donc ), alors on a :


Egalement, si on remarque que sont tels que avec , on peut en deduire que est le reste dans la division euclidienne de par

Mais ce n'est qu'un cas particulier d'une definition plus large.

[mehdi-128]

Ah d'accord Lostounet en effet on voit direct que 2 - (-1) = 2+1 = 3 qui est bien multiple de 3.

[mehdi-128]

Il faut revenir à la définition de congruence.

Soient a,b sont deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul.

Dire que signifie que a et b ont le meme reste dans la division euclidienne par n.

Ceci est encore equivalent à dire que n divise a-b.

En particulier, cela signifie que si est le reste dans la division euclidienne de par (avec donc ), alors on a :


Egalement, si on remarque que sont tels que avec , on peut en deduire que est le reste dans la division euclidienne de par

Mais ce n'est qu'un cas particulier d'une definition plus large.

Merci pour les précisions

[mathelot]

Bonjour,

Je comprends pas pourquoi :

Je croyais qu'un reste ne pouvais jamais être négatif

dans cette congruence, -1 n'est pas un reste mais un dividende (dans la division euclidienne par 3)

[pascal16]

<=> 2 et -1 ont même reste par division euclidienne par 3 (et c'est 2)