Cherche mathématicien...

[fdesar]

Je recherche un (ou des, soyons fous !) mathématicien suceptible de m’aider à réaliser un petit projet, n’étant pas personnellement à même de résoudre l’aspect mathématique de la chose.
Faisant de l’origami et en particulier des diagrammes, j’utilise pour ce faire le logiciel de dessin vectoriel Inkscape. Je me trouve souvent confronté au problème de l’axiome 6 de Huzita, à savoir trouver (si elle(s) existe(nt)) la(es) tangente(s) à deux paraboles.
Si dessiner les paraboles ne pose aucun problème, determiner leur tangente (en pratique je sais qu’il en existe au moins une et qu’elle est le plus souvent unique dans la portion du plan qui m’intéresse), la dessiner avec précision se révèle plus ardu (faisable, mais plutôt délicat, par tâtonnement purement visuel).
Je souhaiterais donc développer une petite extension pour ce logiciel libre et ouvert, dans le but final de la mettre grâcieusement à disposition d’autres origamistes qui se retrouvent fatalement confrontés un jour ou l’autre au même type de problème, leur permettant, ainsi qu’à moi, de réaliser cette fonction le plus facilement possible.

Je cherche donc, trés précisement, à écrire (informatiquement parlant) une fonction ayant en entrée deux triplets de points de coordonnées (x, y), un pour chaque parabole (foyers +directrices), et en sortie 0 à 3 couples de coordonnées (x, y) représentant les points de la ou des tangente(s) communes si elles existent.

Je suis à même d’apporter la partie programmation de la chose (en utilisant si nécessaire la manipulation de nombres complexes) mais aurait besoin d’aide (et c’est un euphémisme, n’étant absolument pas mathématicien et n’ayant que de très vieux souvenir de classe, de plus très limités) sur la partie résolution théorique et pratique du problème.

Si quelqu’un est intéressé et/ou peut me consacrer un peu de son temps, merci de me le faire savoir.

Cordialement, en espérant que ce « coin café » est un endroit approprié pour ce genre de requête, merci d’avance, sinon, désolé pour le dérangement.

PS : je suis retraité et tout ceci n’est qu’un hobby pour moi...

[LB2]

Bonjour fdesar,

bienvenue. C'est un problème intéressant. Si j'ai bien compris, tu cherches à déterminer les tangentes communes à deux paraboles.

Il y a une clarification à apporter ici : appelons nos paraboles P1 et P2.
- est-ce qu'on cherche des tangentes communes à P1 et P2 où les point de tangence T1 et T2 sont confondus? c'est à dire des points où les paraboles sont tangentes entre elles (cela n'existe pas toujours)
- ou est-ce qu'on cherche des tangentes communes à P1 et P2 où les points de tangence T1 et T2 peuvent être distincts.

Prenons un exemple :

y1=x_1^2-5x_1+6
y2=x_2^2+x_2+1

On cherche à résoudre le système d'équations suivants :

dy1/dx1=dy2/dx2 (même pente)

dy1/dx1=(y2-y1)/(x2-x1) (sinon les tangentes sont parallèles mais pas forcément confondues)

Ici cela nous donne 2x1-5=2x2+1 et 2x1-5=(y2-y1)/(x2-x1)

que l'on peut résoudre aisément par substitution : on trouve x1=7/3 , x2=-2/3, y1=-2/9, y2=7/9

Bien sûr ce cas particulier ne résout rien dans le cas général, car j'imagine que tu considères des paraboles qui n'ont pas forcément une équation de la forme y=ax^2+bx+c.

Dans ce cas, cela dépasse mes connaissances car la "bonne façon" de voir le problème est d'utiliser la géométrie projective. J'ai fait des recherches et j'ai trouvé les résultats suivants :

- En général, deux paraboles ont au maximum 3 tangentes communes dans le plan
- Si les équations sont toutes les deux de la forme y=ax^2+bx+c, alors il y en a au plus deux. (Je pense que la démonstration est accessible)
- Je ne sais pas si on peut démontrer de façon élémentaire qu'il y en a au moins une (ou trouver un contre exemple avec deux paraboles sans tangente commune)
- La même question a été posée sur des forums de maths anglophones :
https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1
https://math.stackexchange.com/question ... 63#2013863

et les mathématiques sont difficiles (géométrie projective, matrices...)

L'idée est que le problème de trouver une tangente commune à deux coniques se ramène au problème de trouver un point commun à deux coniques, par dualité point-droite dans le plan projectif.

[Ben314]

Salut,
Une parabole donnée par son foyer et sa directrice , c'est (définition) l'ensemble des points du plan tels que où est le projeté orthogonal de sur .
Et un résultat classique (et facile à démontrer), c'est que la tangente à la parabole en un tel point c'est en fait la médiatrice du segment .
Donc si tu as deux paraboles données par leur foyers et leur directrice , trouver une/des tangente(s) commune(s) aux deux paraboles, ça revient à trouver et tels que les médiatrices et de soient confondues.
Je regarde (et je complète ce post) pour voir au niveau calculs (et avec ce que tu as comme donnée initiales) ce qui est le plus simple...

@LB2 : ton exemple est un cas très particulier du problème posé vu que tes deux paraboles ont toute les deux des directrices parallèle à l'axe des x donc parallèles entre elles.

[Ben314]

Avec tes données initiales à savoir les foyer [et ] ainsi que deux points [et ] des directrices ce que tu as immédiatement, ce sont les équation paramétrique des deux directrices :
.
Ensuite, les médiatrices de et de sont confondues ssi leurs vecteurs normaux et sont colinéaire et si le vecteur reliant les milieu respectifs et de et de est à (et à ).

En traduisant la colinéarité via un déterminant et l’orthogonalité via un produit scalaire, ça te donne deux équations concernant les paramètres et qu'il faut résoudre :


sont des constantes réelles calculable avec les données de l'énoncé.



Et en injectant du (1) dans (2), on trouve (sauf cas particulier) une équation du 3em degré en ce qui signifie qu'il peut y avoir jusqu'à 3 tangentes communes. (En fait, la "théorie théorique" dit que deux coniques ont toujours 4 tangentes communes, mais c'est dans un corps algébriquement clos et en projectif. Or, en projectif, une parabole a toujours la "droite à l'infini" comme tangente donc ici, c'est elle la 4em tangente commune et ça explique qu'on ait "que" du degré 3 et pas du degré 4)
Si tu veut un exemple très simple, prend les paraboles et : elles ont bien 3 tangentes communes.

Après, au niveau informatique, il y a sûrement plus simple comme façon de procéder que de calculer ces 9 constantes, mais ça ne changera rien au résultat qui est que, à un moment ou un autre, il y aura une équation du 3em degré à résoudre.

P.S. @LB2 : Si les deux parabole ont des directrices parallèles, c'est que et là, effectivement, on n'a plus qu'une équation de degré 2 (et ça vient du fait que dans ce cas là, la droite à l'infini est non seulement tangente commune aux deux paraboles, mais que c'est la tangente en un même point donc elle est "solution double" au niveau algébrique)

[fdesar]

Merci, Ben314,

je vais essayer de décortiquer ta réponse à tête reposée, pour voir si j'arrive à comprendre
quelque chose, mais j'ai quand même l'impression d'avancer un petit peu grâce à toi...

Ce que je cherche à obtenir, in fine, ce sont les paramètres a,b,c et d de cette fameuse équation du 3e degré
at^3+bt^2+ct+d du cas général : ensuite, j'ai tout plein de bibliothèques de programmation à ma disposition pour la résoudre (ou me dire si qu'elle ne l'est pas) sans avoir à me casser plus avant la tête. Comme je le
disais, ce n'est pas dans mes compétences et d'autres que moi on déjà résolu cet aspect du problème, aussi,
je n'ai pas à réinventer la roue.

Mais cela est-il seulement possible ? Il me semble intuitivement, mais je n'en sais finalement rien.

Comme je l'ai dit, je ne pratique que peu voir pas les mathématiques (la géométrie en particulier, sauf Pythagore, Thalès et leurs cousins à l'occasion pour le pliage de papier ) et n'en ai qu'un vieux souvenir de
classe quelque peu brumeux, donc désolé si je pose des questions triviales.

Bonne nouvelle : H et K me paraissent évidents

Je vois à peu près ce que tu appelles un déterminant, ce qui me permet aussi d'entrevoir l'équation (1). Par
contre, à la première lecture, j'ai déjà beaucoup plus de mal avec la (2) (je ne vois pas d'où sortent ces
e, f, g, h et i).

Finalement, "injecter" s de (1) dans (2) se résume pour moi déjà à comprendre (1) et (2) et ensuite comment
les résoudre par voie de programmation, ce qui n'est pas gagné au premier abord.

Je vais donc continuer à réfléchir à tout ça à tête reposée, mais si tu as des raccourcis ou des suggestions à
me proposer, je suis preneur...

Bien cordialement et merci pour ton temps.

[Ben314]

Désolé...
Une fois de plus, j'ai "modifié" mon message au lieu de le "citer" -> Perdu...
Je le retaperais vite fait quand j'aurais le temps.

[fdesar]

Merci Ben,

Comme tu dis, je m'en fiche que ce soit joli : tout ce que je demande c'est que ce soit fonctionnel.
Si quelqu'un veux faire "joli", libre à lui, même comme à ce jour personne ne s'est donné la
peine de s'y coller et que c'est moi qui suis parti là dedans le premier, l'esthétique n'est vraiment pas
ma préoccupation, je le laisse à mes successeurs si ça les amusent

En tous cas, bravo pour ton calcul : je l'ai programmé (effectivement, la moindre faute de frappe est
fatale !)et j'ai obtenu une routine Parabole(F, D1, D2) à laquelle je passe le foyer et les deux point de
la directrice et obtient en retour les 5 paramètres de son équation.

J'ai tester divers configurations avec un "grapher" et le résultat est parfaitement cohérent (c'st finalement
ce qui m'a pris le plus de temps).

C'est pour moi très positif et j'ai vraiment l'impression d'avancer quelque part grâce à toi : merci mille fois !

Mais maintenante que j'ai mes deux équations paraboliques, que dois-je donc bien faire pour trouver leur(s)
tangentes communes ou plutôt, comment donc puis-je construire l'équation du 3e degré qui me permettra
de le faire : that's the (final) question (du moins, je l'espère)...

Merci pour le coup de main et à bientôt.

PS : je dois bien sûr vérifier que n<>0 (cas où les deux points donnés pour la directrice seraient confondus
il me semble) mais je présume que si le foyer se trouve sur la directrice, je devrais aussi avoir un léger
problème... je vais voir ça.

[Ben314]

Concernant les cas particulier, il va y en avoir pas mal à regarder au fur et à mesure :
- Pour l'équation de la droite, vérifier que les deux points sont distincts.
- Pour l'équation de la parabole, vérifier que le foyer n'est pas situé sur la droite.
- Pour la suite... on verra...

Sinon, si je me suis arrêté hier soir, c'est que c'est bien plus joli comme ça, (et plus facilement vérifiable) mais qu'en ce qui concerne la dernière procédure à qui on donne les réels pour la première parabole et pour la deuxième (avec ), ça va être pas mal plus chaud (*).
On cherche une tangente commune aux paraboles :
On calcule :

=> une droite d'équation est tangente à la parabole ssi
(à vérifier dans le programme pour voir si jusque là, on a pas écrit de conneries...)
Mêmes formules pour partant de pour la deuxième parabole.
(... à revérifier aussi...)

Ensuite, on calcule :

=> une droite est tangente commune ssi ce qui donne la fameuse éqaution du troisième degré à résoudre en et avec la solution particulière si

(*) A faire, à expliquer et à trouver sans se gourrer les cas particuliers.

[fdesar]

Pour les cas particuliers, pour le moment, pas de problème : vérifier que les deux points de la directrice sont disjoint consiste juste à vérifier que leurs x et/ou leurs y sont différents, quant à vérifier si le foyer n'est pas sur la droite, il suffit de voir si ses coordonnées sont solution de l'équation de la directrice. Trivial.


Ensuite, calculer les coefficients k1-k5 et K1-K5 (que représentent-ils ?) ne pose pas non plus de problème de programmation particulier, mais vérifier s’il n’y a pas d’erreur est déjà plus problématique car on se retrouve avec une équation de droite à trois inconnues puisqu’il existe un infinité de droites tangentes à la parabole, une pour chacun de ses points. Mais bon, admettons.

Ensuite, calculer les divers "l" ne me pose pas non plus de problème particulier (je ne sais pas non plus de quoi il s'agit), mais je me retrouve au final à devoir résoudre une unique équation à deux inconnues, alpha et beta... et là, quelque chose m’échappe vraiment...

[fdesar]

[Désolé pour ma réponse tardive : je n'arrivais plus à poster dans le forum, certains caractères UTF8 ne passant pas dans la base SQL...]

[Ben314]

Les réels k1..k5 et K1..K5, je ne pense pas qu'il "représentent" vraiment quelque chose en eux même : ce sont des valeurs "sans unité" (si on considère que les x et le y ont des unités, par exemple le cm).
En fait, il jouent exactement le même rôle que le a,b,c,d,e de l'équation de la parabole, c'est à dire que ce sont les coefficients qui apparaissent dans l'équation qui caractérise les tangentes à la parabole en question.

Et en ce qui concerne le "d'où ils sortent", si on connaît la "théorie théorique" concernant les conique, ils correspondent aux coeffs. de l'inverse d'une matrice 3x3 qui elle même correspond à la parabole P.
Mais on peut aussi le voir bien plus "à la main" : On part de la parabole connue et on se donne une équation de droite avec les coeff. inconnus et on cherche à quelle condition (sur ) le système formé des deux équations (1) n'admet qu'une et une unique solution (double) ce qui revient à chercher à quelle condition la droite en question est tangente à la parabole.
Et après un peu de calcul (un peu chiant, mais pas compliqué), on tombe sur le fameux où les ki sont ceux que je t'ai donné.
Idem pour les coeffs. : tu écrit l'équation avec des caractérisant les tangentes à la première parabole et celle caractérisant les tangentes à la seconde puis tu cherche une condition sur les coeff. et admette une racine commune (2) et tu tombe sur l'équation en et avec comme coeff. les .

Ensuite, quand je disait de "tester", ça signifie d'envoyer comme paramètre à la procédure non seulement les coeff. a,b,c,d,e de la parabole mais aussi de lui envoyer 3 coeff. correspondant à l'équation d'une droite. Et, dans la procédure, après avoir calculé les ki, tu calcule le réel et tu affiche le résultat. Pour tester que c'est O.K., tu envoie à la procédure des coeff. de parabole bien connue et des coeff. d'une droite tangente à cette parabole là et tu vérifie que la procédure donne bien 0 comme résultat du calcul (et qu'elle donne bien autre chose que 0 si les coeff. ne correspondent pas à une tangente.)

Sinon, l'équation finale (de degré 3) n'est pas vraiment une équation à deux variable : si on suppose , alors en la divisant par tu obtient une équation (de degré 3) ne dépendant que du paramètre et c'est cette dernière équation que tu résout numériquement. Puis, une fois la (ou les deux ou les trois) solution(s) en trouvées, tu trouve et en utilisant le fait que avec connu mais aussi que .
Et une fois que tu as le (ou les) solutions en , tu détermine le (ou les) correspondant en utilisant l'équation avec les (ou celle avec les )

Je sais pas dans quel langage tu veut implémenter le bidule, mais si c'est un truc proche d'un langage que je connais (Langage C ou Python par exemple) je peut te taper un bout de code pour que tu voit le bidule.

(1) Si on suppose , on peut écrire l'équation de la droite sous la forme ; on injecte ça dans l'équation de la parabole ce qui donne une équation du second degré en et on termine en disant que pour cette équation admette une unique racine double, il faut (et il suffit) que le discriminant soit nul.
(2) Modulo de supposer un truc non nul, tu peut écrire l'équation caractérisant les tangentes à la première parabole sous la forme en fonction de et ; de même pour la deuxième parabole puis tu dit que les deux trucs que tu as obtenu après les doivent être les mêmes ce qui te donne une condition ne portant que sur et qui est celle que je donne.

[fdesar]

Merci, Ben314,

je commence à comprendre peu mieux... mais si tu peux me faire un bout de prog en Python pour me "montrer" tout ça concrètement, ça deviendra, je pense, tout à fait clair pour moi (j'ai commencé à l'écrire en Perl, qui est le langage que je maîtrise le mieux, mais je finirais probablement par le traduire en Python qui est le langage le plus simple à interfacer avec Inkscape).

Merci d'avance pour toute l'aide que tu m'apportes : ça m'est extrêmement précieux !

De mon côté, j'ai, entre temps rechercher dans les articles des mathématiciens spécialisés dans l'origami et ai fini par trouver un papier très intéressant de Robert J. Lang intitulé "Origami and Geometric Constructions"(https://pdfs.semanticscholar.org/aa2d/e2db35a0dcaa6ab929c95ef9e0168f14659c.pdf) dans lequel il aborde la résolution du problème page 49, dans le paragraphe intitulé "axiom 6 and cubic curves", ce qui est très exactement ce que je cherche à réaliser en pratique, mais malheureusement, mon niveau est bien trop limité pour pouvoir en tirer quelque chose (je pense en plus que cet article pourra par ailleurs t'intéresser, au delà de mon simple problème d'implémentation, voire te donner d'autres idées pour le résoudre ).

Il y a aussi, cité dans cet article, la résolution par l'origami des polygones réguliers d'ordre N où N est un nombre premier de la forme 2^n+3m+1, par la résolution dans le plan complexe de l'équation z^n-1=0 et j'ai trouvé le papier de Robert Geretschläger où il démontre, par cette méthode, en origami pratique, la résolution de l'heptagone régulier https://cms.math.ca/crux/v23/n2/page81-88.pdf (aussi assez "chaud" pour moi, n'ayant aucun souvenir de la géométrie complexe que j'ai pourtant bien dû voir en Terminale il y a bien, bien longtemps...). Ça pourra peut-être aussi t'intéresser...

Bien cordialement et merci pour tout.

[Ben314]

Sur cette machine, j'ai pas le module de simpy calcul de racines de polynômes.
Pour pas passer des plombes à l'installer, j'ai refait un mini-solveur (sans rentrer dans les détails des racines doubles).
De même, j'ai traité aucun cas particulier (en particulier celui où le coeff. est nul où il y a une tangente verticale commune et ou il reste un polynôme de degré 2 à résoudre...
Bref, c'est fait à la va vite pour te montrer le principe (en fait c'est du copié collé de mon post précédent...)

Code: Tout sélectionner

from math import sqrt

############################################################################################################

def Newton(P,t): # P=[a,b,c]=polynôme X^3+a*X^2+b*X+c ; t=valeur initiale
  t0=t+1
  while abs(t-t0)>1E-10:
    t0=t; t=t-(t**3+P[0]*t**2+P[1]*t+P[2])/(3*t**2+2*P[0]*t+P[1])
  return t


def Solve(P): # P=[a,b,c]=polynôme X^3+a*X^2+b*X+c
  x0=-P[0]/3; y0=x0**3+P[0]*x0**2+P[1]*x0+P[2]; Delta=P[0]**2-3*P[1];
  if Delta<0:
    return [Newton(P,x0)]
  else:
    d=sqrt(Delta); x1=x0-d/3; x2=x0+d/3; y1=x1**3+P[0]*x1**2+P[1]*x1+P[2]; y2=x2**3+P[0]*x2**2+P[1]*x2+P[2]
    if y1<0:
      return [Newton(P,x2+1)]
    if y2>0:
      return [Newton(P,x1-1)]
    return [Newton(P,x1-1),Newton(P,x0),Newton(P,x2+1)]

############################################################################################################

def Eq_Droite(A,B): # A ; B = [x,y]
  n=sqrt((A[0]-B[0])**2+(A[1]-B[1])**2)
  return [(B[1]-A[1])/n,(A[0]-B[0])/n,(A[1]*B[0]-A[0]*B[1])/n]
# [a,b,c] où Droite:ax+by+c=0 avec a^2+b^2=1


def Eq_Parabole(D,F): # D=[a,b,c]=Droite:ax+by+c=0 avec a^2+b^2=1 ; F=[x,y]=Foyer
  return [D[1],-D[0],-2*(F[0]+D[0]*D[2]),-2*(F[1]+D[1]*D[2]),F[0]**2+F[1]**2-D[2]**2]
# [a,b,c,d,e] où Parabole:(ax+by)^2+dx+ey+f=0


def Eq_Tangente_Parabole(P): # P=[a,b,c,d,e]=Parabole:(ax+by)^2+dx+ey+f avec a^2+b^2=1
  d=P[0]*P[3]-P[1]*P[2]
  return [(P[3]**2/4-P[1]**2*P[4])/d,(2*P[0]*P[1]*P[4]-P[2]*P[3]/2)/d,(P[2]**2/4-P[0]**2*P[4])/d,-P[1],P[0]]
# [a,b,c,d,e] où D:ux+vy+w=0 est une tangente à P ssi au^2+buv+cv^2+duw+evw=0


def Tangente_Commune(T1,T2): #T1,T2=[a,b,c,d,e]=Eqaution au^2+buv+cv^2+duw+evw=0
  d=T1[0]*T2[3]-T1[3]*T2[0]; a=(T1[0]*T2[4]-T1[4]*T2[0]+T1[1]*T2[3]-T1[3]*T2[1])/d
  b=(T1[1]*T2[4]-T1[4]*T2[1]+T1[2]*T2[3]-T1[3]*T2[2])/d; c=(T1[2]*T2[4]-T1[4]*T2[2])/d
  S=Solve([a,b,c]); R=[]
  for s in S:
    d=sqrt(s**2+1); a=s/d; b=1/d;
    R.append([a,b,-(T1[0]*a**2+T1[1]*a*b+T1[2]*b**2)/(T1[3]*a+T1[4]*b)]);
  return R

M1=[2,1]; N1=[3,-2]; F1=[5,4]; M2=[-2,3]; N2=[3,0]; F2=[-1,0]
T1=Eq_Tangente_Parabole(Eq_Parabole(Eq_Droite(M1,N1),F1))
T2=Eq_Tangente_Parabole(Eq_Parabole(Eq_Droite(M2,N2),F2))
print(Tangente_Commune(T1,T2))

A la sortie, ça te renvoie une liste de triplets (soit 1 soit 3 en fait) [a,b,c] où chacun d'eux correspond à une équation de droite ax+by+c=0 qui est tangente commune aux deux paraboles.

[fdesar]

Super, merci infiniment !

Je vais voir tout ça , mais je dois m’absenter bientôt une quinzaine de jours.

Je vais essayer d’exploiter tout ça et de réaliser l’extension à mon retour et te tiendrais au courant de mes résultats.

Si j’aboutis et que je publie le module, je ne manquerais pas de te citer comme contributeur (ben313 ?)...

Si j’ai un soucis ou ai besoin d’autres explications, je reprendrais contact avec toi.

Au fait, as-tu eu le temps de jeter un coup d’œil aux liens que je t’ai donné ? Je pense que c’est vraiment intéressant du point de vue géométrie pure, ces articles ayant été écrit par des « sommités » reconnues du cercle des mathématiciens de l’origami (par ailleurs de très grands artistes)...

À très bientôt et encore merci de ton temps et de ta patience : je n’en espérais pas autant...

[Ben314]

Oui, j'ai regardé l'article, mais c'est pas super lié à ce qui t’intéresse ici, à savoir la résolution numérique de problèmes géométriques (vu ton problème, on s'en fout un peu que "la base" ce soit des origamis).
Ce qu'il font dans l'article, c'est principalement une étude concernant "ce qui est constructible" à l'aide des origamis et, sur le principe, je connaissait déjà le résultat (*). Ce qui pourrait m’intéresser, c'est la liste plus ou moins exhaustive des constructions que cela permet de faire et qui sont impossible à faire à la règle et au compas seuls (i.e. la liste des problèmes classiques se ramenant à du degré 3 et pas plus).
Bref, ma "culture", c'était à peu prés ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A ... s_origamis

(*) En général, lorsque l'on étudie la "théorie de Galois" qui est une branche des maths. où on s’intéresse en particulier à la résolution des équations polynomiales, on donne comme exemple d'application celui des constructions géométriques "à la règle et au compas" (outil classique de la géométrie grecque) qui permettent exclusivement de résoudre des problèmes de géométrie se ramenant à la résolution d'équation de degré 2.
Et on cite aussi très souvent le cas de "la géométrie des origamis" qui, eux, permettent de résoudre des problèmes de géométrie se ramenant à la résolution d'équation de degré 2 ou 3.

[fdesar]

Ils y a d’autres choses intéressantes que l’origami peut résourdre facilement, comme la n-section des angles ou la division d’une longueur en n segments, n impairs, mais c’est plutôt trivial.

Un autre axe de recherche de R. Lang est d’étudier les possibilité offertes par la réalisation deux deux plis simultanés et il semblerait que cela ouvre encore de nombreuses possibilités...

L’origami et ses mathématique sont un sujet de recherche finalement assez récent datant de la dernière moitié du XXe et il y a encore pas mal de choses à trouver, je pense. Un autre aspect intéressant est l’usage que l’on peut en faire de façon très pratique, comme la réalisations des pliages des airbags ou des panneaux solaire dans l’astronautique ou encore des nano-pinces sans partie mécanique pour la chirurgie endoscopique. L’architecture est aussi un domaine dans lequel l’origami semble aussi apporter beaucoup.

Sinon, j’ai une question subsdidiaire concernant ta résolution de mon problème : comment, connaissant l’équation d’une des tangentes commune, déterminer les points x1 et x2 de cette tangente tels que x1 soit élément de P1 et x2 élément de P2 ? Ce n’est qu’ainsi que je pourrais la dessiner.

Je pense aussi qu’en pratique, si j’ai plus d’une tangente, c’est qu’il n’y a pas de solution possible au pliage (aucune idée si c’est vrai ou non, c’est juste intuitif) et qu’il me faudra peut-être aussi limiter les tangeantes dont les point (x1,x2) font partie d’une sous-surface du plan, ie un rectangle ou un cercle, par exemple, représentant la surface de papier.

Voilà pour mes dernières cogitations...

Merci encore pour le code et à très bientôt.

[Ben314]

Si l'équation de ta parabole P c'est (connue) et celle de ta droite c'est (connue) que tu sait être une tangente à la parabole alors si tu substitue (ou ) dans l'équation de la parabole en utilisant l'équation de la droite, ça te donne une équation du second degré dont tu sait qu'elle admet une racine double c'est à dire si l'équation est .
Après calculs, ça donne et

[fdesar]

Génial !

[fdesar]

Bonjour Ben 314,

Merci encore pour ton aide : j'ai réussi à réaliser mon extension Inkscape et dessine parfaitement la ou
les tangentes aux deux paraboles.

Mais comme je le suggérais précédemment, il me reste à résoudre dernier problème, à savoir ne dessiner que
les tangentes pouvant être réalisées par pliage...

Pour cela, le problème est le suivant :

Connaissant désormais les équations des paraboles, des directrices et des tangente(s), je dois, pour chaque tangente vérifier sa validité de la manière suivante :

---------------------
- Soit P1 et P2 les deux paraboles définies respectivement par leurs foyers F1 et F2 et
leurs directrices D1 et D2.
- Soit Tg une de(s) tangente(s) commune(s) à P1 et P2
- Soit (F1,x) et (F2,y) deux droites perpendiculaires à Tg avec x sur D1 et y sur D2

La tangente Tg est "pliable" si et seulement si la distance entre F1 et F2 est égale
à la distance entre x et y.
-----------------------

(Je pense, intuitivement, que si une des tangente est pliable, alors il n'existe forcément qu'une seule tangente commune aux deux paraboles... mais ce n'est qu'une conjecture de ma part...).

Pourrais-tu aussi m'aider à résoudre ce dernier problème ?

Je te joins une illustration pour bien schématiser la question.

Cordialement et merci pour ton temps.


PS : il semblerait que je n'arrive malheureusement pas à joindre le fichier PDF : j'espère que la question est
assez clair...

[Ben314]

C'est pas archi-clair :
Met ton pdf sur un site de stockage quelconque (style google drive) et donne juste le lien ici.