Salut,
1)
a)
a = arctan(x)
b = arctan(y)
avec a et b dans ]-Pi/2 ; Pi/2[
tan(a) = x
tan(b) = y
1 - xy = 1 - tan(a)*tan(b)
(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = (1 - tan(a)*tan(b)) * cos(a)*cos(b)
(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = cos(a+b)
**********
b)
Tu as probablement "oublié" de tenir compte que la fonction tan() était Pi périodique.
avec a et b dans ]-Pi/2 ; Pi/2[
1 - xy = 1 - tan(a)*tan(b)
x + y = tan(a) + tan(b)
(x+y)/(1 - xy) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)*tan(b))
(x+y)/(1 - xy) = tan(a+b)
a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) ou a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) +/- Pi (car tan() est Pi périodique)
Il reste à montrer que si xy < 1, c'est a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) qui convient.
Alors que si xy > 1, c'est a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) +/- Pi qui convient.
Je montre une possibilité (parmi d'autres) pour le faire :
1°)Supposons x et y > 0 et x.y > 1, alors (x+y)/(1 - xy) < 0 mais a et b > 0 --> a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) ne convient pas (un membre est positif et l'autre négatif), c'est alors a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) + Pi qui convient.
Vérification : x = 1 et y = 2 --> xy = 2 (> 1), (x+y)/(1 - xy) = -3 et arctan((x+y)/(1 - xy)) = -1,2490... ; arctan((x+y)/(1 - xy)) + Pi = 1,8925...
a = arctan(1), b = arctan(2), a+b = 1,8925...
On a donc bien ici : a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) + Pi et pas a + b = arctan((x+y)/(1 - xy))
2°)Supposons x et y < 0 et x.y > 1, alors (x+y)/(1 - xy) > 0 mais a et b < 0 --> a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) ne convient pas ...
3°)Supposons x.y < 1
Essaie de poursuivre ...