Somme parallèle et inégalité

[Agouraptor]

Bonjour à tous;

je viens de finir un exercice de prépa faisant parti d'un DM et je voudrais savoir si mes raisonnements sont juste. Cela risque d'être un peu long, donc je remercie ceux qui auront le courage de tout vérifier .

Pour tous , on appelle somme parallèle de a et b et on note le réel : .

On s'intéresse maintenant à l'inégalité suivante, que l'on démontrera :

Pour tous

1) Que vaut le minimum de la fonction sur pour tous a, b > 0 ?



On pose , est donc une fonction polynomiale du second degré de la forme : , avec et

La valeur du minimum de f est donc : . Calculons ce minimum :



2) En déduire que pour tous .

D'après la question précédente, on a, pour tous :




Par somme, et puisque tout les termes des inégalités sont positifs, on obtient :



On pose maintenant :



est donc une fonction polynomiale du second degré de la forme : , avec et . De la même façon que dans la question 1), on détermine le minimum de la fonction g, qui vaut :





On obtient donc :



On obtient donc l'inégalité voulu :



3) En déduire, par récurrence, l'inégalité originale :

* Initialisation :

On vérifie que la propriété est vérifiée au rang initial n = 1. On considère donc seulement les réels et





Donc l'inégalité est bien vérifiée au rang initial n = 1.

* Hérédité :

On suppose que la propriété est vérifiée à un rang quelconque p, c'est-à-dire que l'on considère les réels : :



On démontre que la propriété est vérifiée au rang suivant p + 1, c'est-à-dire que l'on considère les réels : :



Cette dernière inégalité peut se réécrire ainsi :



On utilise ensuite l'inégalité démontré dans la question précédente, en posant :






On obtient donc :



Or d'après notre hypothèse de récurrence, on a :



et donc :



On a donc :



Et donc finalement :



* Conclusion :

La propriété est vérifiée au rang initiale et est héréditaire, elle est donc vérifiée pour tout entier naturel strictement positif, c'est-à-dire :

Wow... bon voilà, voici mon approche sur les différentes questions de cet exercice. Merci à tous ceux qui me répondrons .

[aviateur]

Bonjour oui c'est correct.
Ensuite, je ne sais pas où on en est dans la rigueur des démonstrations mais perso je corrigerai quelques petites fautes:

Juste après "hérédité" tu parles de réels alors que ce sont des réels >0.
Dans la conclusion " pour tout n" cela serait mieux de dire pour tout

[Agouraptor]

Effectivement, merci pour cet éclaircissement !

[Ben314]

Salut,

Par somme, et puisque tout les termes des inégalités sont positifs, on obtient :
. . .

Sinon, là,

(1) Tu n'a rien à f... que les termes des inégalités soient positifs ou pas : l'implication (A<B et A'<B') => A+A'<B+B' est vraie quelque soient les signe de A,A',B,B' (donc ça fait plus que concon d'écrire ton "..puisque...")

(2) Tout ton long laïus en dessous, ça fait plus que sourire : tu ne t'es pas rendu compte que tu faisait très exactement le même calcul qu'au dessus ? Ton truc en rouge, il est égal à et tu as déjà démontré au dessus qu'en choisissant convenablement, cette quantité vaut en fait .
Bref, ta façon de procéder, ça fait penser au mec qui aurait déjà démontré que, pour tout réel x, on a f(x)>x (pour une certaine fonction f) et qui plus tard, vu qu'il veut utiliser le fait que f(y)>y pour tout y, ben... il recopie de A à Z la preuve déjà faîtes en remplaçant les x par des y.
Là, c'est exactement ce que tu as fait : tu as tout recopié en remplaçant les a par des a+a' et les b par b+b' ce qui n'a pas le moindre intérêt vu que ta première preuve était déjà valable pour tout a et tout b >0 donc en particulier valable pour a+a' et b+b' qui sont >0.

On obtient donc :

Ça, c'est certes pas faux, mais vu l'endroit où ça se trouve dans ta preuve (c'est à dire vu ce que tu vient de prouver juste avant), ça donne pas mal l'impression au correcteur que ton "raisonnement" ça consiste à dire que partant des deux inégalités

tu "déduit" que ce qui est évidement parfaitement faux.

[aviateur]

@ben je n'ai pas ta lecture aussi attentive!

[Ben314]

Quand je corrige des copies, j'utilise un stylo rouge par paquet de copie....
Par contre, je détaille bien le barème sur la copie (style tel bout de question, tu as eu 1,5 sur 2) pour que l'étudiant puisse voir, au vue de la note mise à cette question, si mon (long) laïus en rouge dénote d'une erreur considérée comme "grave" ou "pas très grave" : il m'arrive plus que souvent de faire une remarque sur la rédaction et de mettre quand même tout les points à la question. Trés souvent je met aussi un truc du style sur 2 pour dire que ce n'est pas parfait et s'il y a beaucoup de "-", j'enlève 1/2 point au final...

Là, par exemple, j'aurais mis absolument tout les points à l'exo. : je trouve la rédaction plutôt trop longue (et redondante), mais ça, l'étudiant "s'auto-sanctionne" en perdant un max de temps.

[Agouraptor]

Bon eh bien je garderais en tête toutes ces maladresses. Merci beaucoup pour cette lecture attentive !