Exercice intégrale Wallis

[lightone]

Bonjour, j'ai cet exercice à faire mais je ne sais pas par où commencer. Le voici :

Pouvez vous m'aider? Merci.

[lightone]

Pour la question une, j'ai commencé par utilisé le DL de ln (oui j'ai oublié de préciser que pour mon prof, log = ln). Du coup, j'ai déja le premier terme du membre de droite mais après, je ne vois pas ce que je peux faire avec le reste du DL...

[Sake]

Salut,

1) Puisque t < k, t²/k² < 1 donc on utilise le dvpt en série entière du logarithme j'imagine.

[lightone]

Peut être mais le problème reste le même. J'aurais le premier terme du membre de droite mais je fais quoi du reste?

[Ben314]

Salut,
Un D.L. pour montrer "une vraie" inégalité, c'est plus que mal barré : dans un D.L., le o(...) à la fin, tout ce que tu en en connaît, c'est un comportement asymptotique, c'est dire un truc parlant de limite lorsque x->0.
Bien sûr, avec ça, tu peut en déduire des inégalités en utilisant des argument du style "si la limite de truc est =3 alors, à partir d'un certain moment truc > 2,9". Sauf qu'avec ce type d'argument le "à partir de quand" c'est vrai, ben tu n'en a aucune idée...

Bref, si tu veut utiliser quelque chose qui "ressemble" à des D.L. pour montrer un tel résultat, il te faut une égalité avec "un vrai reste" et pas un o(???), c'est à dire une des formules de Taylors : avec reste intégral où bien avec la dérivée n-ième en c.

Et sinon, une autre solution (pas forcément beaucoup plus longue), ben c'est simplement de revenir au Lycée et de faire une bête étude de fonction pour montrer que "je sais pas quoi" reste positif sur l'intervalle (ici, ça marche très bien et ça demande 3 lignes).

EDIT (pas vu le message de Sake) : Avec des séries entières, ça peut éventuellement marcher aussi, modulo que le signe du "reste" soit évident. A mon sens, ça fait un peu "bulldozer pour écraser une mouche", mais, si ça marche, pourquoi pas...

[Sake]

Peut être mais le problème reste le même. J'aurais le premier terme du membre de droite mais je fais quoi du reste?

Ben ce dvpt en série entière s'applique en tout point du rayon de convergence de la série des (x^n)/n (ici ]-1,1[, donc la fonction epsilon_k n'est autre que la somme pour n allant de 2 jusqu'à l'infini des (x^n)/n. Et ça tu peux jouer dessus pour avoir les inégalités qu'il faut il me semble.

[lightone]

Sake : oui, c'est ce que j'ai commencé à faire quand tu m'as dit ton premier message.

[Sake]

Sake : oui, c'est ce que j'ai commencé à faire quand tu m'as dit ton premier message.

Continue plutôt avec les formules de Taylor (cf. Ben) mais juste for the record:


Edit: trompé de mathématicien

[lightone]

Tu n'as pas oublié un (-1)^n+1?

[aviateur]

Bonjour
Le plus simple, à mon avis, c'est une étude de fonction. En effet passer par le développement en série entière va surement compliquer l'histoire.
***retiré ****
Mais w(u)=h(u)=0 et et
On voit tout de suite que sur [0,1[

Il vient alors

cqfd

[Ben314]

Mais w(u)=h(u)=0 et et
On voit tout de suite que sur [0,1[

Et si tu veut rester au niveau "pur Lycée", le deuxième truc rouge tu l'écrit sous la forme (h-w)'(u)>=0 pour tout u de [0,1[ ce qui signifie que la fonction (h-w) est croissante sur [0,1[.
Et comme le premier truc rouge dit que (h-u)(0)=0, tu en déduit que (h-w)(u) est positif pour tout u de [0,1[.

[Sake]

Tu n'as pas oublié un (-1)^n+1?

Non

[lightone]

Ba moi dans le formulaire que j'ai, j'ai un (-1)^(n+1) devant

[Ben314]

Ba moi dans le formulaire que j'ai, j'ai un (-1)^(n+1) devant

Et le jour où, dans un "formulaire de biologie", tu verra d'écrit qu'un moineau, ça pèse de 24 à 40 kilo, tu va sans broncher faire l'exo avec des moineau de 40Kg ou bien tu va essayer de réfléchir un peu pour savoir si c'est bien cohérent cette histoire ?

[lightone]

Ba étonnant donné que ce formulaire a été donné par mon prof et que sur internet, je trouve la même chose, il est évident que je fais confiance à ce formulaire.

[aviateur]

Bonjour
Perso je n'ai jamais utilisé de formulaire de ma vie. Bref chacun fait ce qu'il veut.
Mais faire confiance à un formulaire cela ne veut pas dire qu'on sait s'en servir.

[Sake]

Ba moi dans le formulaire que j'ai, j'ai un (-1)^(n+1) devant

Relis ton formulaire.

Edit: Et en aparté ça me sidère aussi que nos remarques te fassent pas broncher. Au bout d'un moment normalement il y a remise en question et (j'espère) réflexion