Salut,
Voici une méthode parmi d'autres:
Tout d'abord, il est facile de voir que:
d'après l'équation 1, donc:
donc:
Alors:
en ayant rendu rationnel le dénominateur.
Nous avons donc:
Par somme et par différence, nous déduisons p_n et q_n.
Maintenant considérons les deux suites
et
définies comme suit:
On voit facilement que
est toujours un entier naturel (car le terme u_n est obtenu uniquement en multipliant par 4 et soustrayant une valeur plus petite)
De même v_n est toujours un entier naturel.
Il suffit maintenant de vérifier que p_n et q_n vérifient la même relation de récurrence que u_n et v_n (respectivement) pour conclure que c'est des entiers aussi ! C'est à dire que pn=un et qn=vn pour tout n avec pn et qn les formules explicites des suites (un) et (vn).