Compacts (topologie)

[Raito07]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour finir cette exercice:


(1) l'application:

est continue sur un compact. Donc d'après le théoreme des bornes atteintes, atteint son minimum en un point .


(2) , donc on a ce qui veut dire que .

(3) j'ai du mal à voir la différence car je n'ai même pas utilisé l’hypothèse que K est compact pour répondre à la question 2.... quelqu'un peut m'aider svp?


Merci

[Ben314]

Salut,

(2) , donc on a ce qui veut dire que .

(3) j'ai du mal à voir la différence car je n'ai même pas utilisé l’hypothèse que K est compact pour répondre à la question 2.... quelqu'un peut m'aider svp ?

Effectivement, tu "n'a pas utilisé l'hypothèse K compact" (ni F fermé non plus d'ailleurs). Mais comme tu n'a absolument pas montré le résultat demandé, ça n'a absolument rien de surprenant.
Ce que tu as montré, c'est que l'inf. que l'on calcule [dans la définition de d(K,F)], c'est un inf. qui ne porte que sur des réels strictement positifs. Et bien évidement, ça ne prouve absolument pas que l'inf. lui même est >0 : par exemple ]0,1] ne contient que des réels >0 ce qui n’empêche pas sa borne inférieure d'être nulle.

Sinon, une fois que tu aura fait le 2) (qui n'est pas compliqué), pour le 3), le contre exemple le plus simple est dans R^2 (dans R tu ne trouver pas de contre exemple).

[Raito07]

ok merci je vais essayer de proposer quelque chose de mieux.

(2) Soit
est continue sur un compact et atteint son minimum en . Or donc
Ceci étant vrai pour tout y de F, on a:

Et donc

Je trouve ça assez compliqué ^^, si tu as une réponse plus simple, j'aimerais bien voir comment tu as fait stp.

[jlb]

Salut, ton xo dépend du y choisi au départ, il n'y a pas de raison que ce soit le même pour chaque y. Tu vois le problème?

[jlb]

Et sinon, tu peux démontrer le résultat par l'absurde ou montrer que d: K ---> R , d(x,F)=inf ydansF d(x,y) est continue pour valider ton idée (foireuse car tu répètes la même erreur formulée par Ben).

[Raito07]

ok merci je vais essayer de faire par l'absurde

[Raito07]

(2) Par l'absurde, supposons .
Alors il existe suite de K et suite de F telles que .

Comme K est compact on peut extraire une sous suite de qui converge vers dans K

Bon j'y arrive pas help

[aviateur]

Bonjour
Par abus notons encore cette suite extraite.
Indication . Mq tend vers 0 en utilisant l'inégalité triangulaire

[Ben314]

Et une fois que tu aura fini la preuve en procédant par l'absurde, vu que tu n'est clairement pas au point du tout concernant la notion de borne sup. / borne inf., je t'inciterais plus que fortement à (re)faire la preuve en utilisant cette fois la deuxième méthode évoquée par jlb, à savoir de commencer par montrer que la fonction x->d(x,F)=inf {d(x,y) ; y dans F} est une fonction continue de K dans R (et éventuellement regarder si le fait que F soit fermé et qu'on se limite aux x de K change quelque chose au résultat)
C'est sans doute un peu plus long, mais je pense que c'est (au moins) aussi formateur que le raisonnement par l'absurde.

[Raito07]

(2) Par l'absurde, supposons .
Alors il existe suite de K et suite de F telles que .

Comme K est compact on peut extraire une sous suite de qui converge vers dans K,
notons encore cette suite extraite. Par l'inégalité triangulaire on a:




Puisque et , alors on a aussi

Donc et impossible car F est fermé.

On a bien montré que .

Merci pour l'indication

[Raito07]

Et une fois que tu aura fini la preuve en procédant par l'absurde, vu que tu n'est clairement pas au point du tout concernant la notion de borne sup. / borne inf., je t'inciterais plus que fortement à (re)faire la preuve en utilisant cette fois la deuxième méthode évoquée par jlb, à savoir de commencer par montrer que la fonction x->d(x,F)=inf {d(x,y) ; y dans F} est une fonction continue de K dans R (et éventuellement regarder si le fait que F soit fermé et qu'on se limite aux x de K change quelque chose au résultat)
C'est sans doute un peu plus long, mais je pense que c'est (au moins) aussi formateur que le raisonnement par l'absurde.

Ok merci je vais essayer aussi

[Raito07]

Soit fonction définie de K dans R
Montrons que celle ci est continue.
Par definition de la borne inf:

Soit fixé.

et par inégalité triangulaire:



Donc
Ceci étant vrai pour tout , est continue sur K.

(Je n'ai pas utilisé l'hypothèse que F est fermé, et le fait qu'on se limite à K ne change rien, on pourrait regarder la distance de n'importe quel à quelconque. )

Ensuite il on applique le théorème des bornes atteintes:

atteint son minimum en un point (qui n'est pas dans F)
Donc

C'est à dire d(K,F) > 0

[Ben314]

Soit fixé.

Ben ça commence mal : le truc en rouge est vrai et il te dit que :
(1)
(2)
Et tu en déduit absolument rien concernant la somme de et de vu que les inégalités ne sont pas dans le même sens.

Et si je veut être "méchant" (et j'aime bien ça...), ce que tu écrit, ça correspond à dire que, pour avoir le plus de fric possible après un achat (donc que le résultat d'une soustraction soit le plus grand possible) , ben il faut en avoir le plus possible avant achat et acheter le truc le plus cher possible : c'est bien évidement... risible...

P.S. Et si je dit ça, c'est du fait que c'est sans doute un des truc qui m'énerve le plus concernant l'aprentissage des maths en France : Le fait que, pour majorer A-B, il faille minorer B, c'est vu par la majorité des élèves (et étudiants...) comme une "recette magique" sur des "formules dénuées de sens" disant que quand on multiplie une inégalité par -1, ça "change le signe".
Et c'est plus que rare que ça soit vu sous la forme totalement débile (à peine niveau primaire) disant qu'une soustraction, c'est un "achat" et que, pour avoir le plus de fric possible après un achat, ben il faut évidement acheter le moins cher possible : Plus B est petit, plus A-B est grand.

[aviateur]

Rebonjour
Oui il faut pas mal faire attention quand on fait une démo. Il y a d'abord la remarque de @ben
mais après tu écris
Or d est une distance sur l'espace métrique X alors que est un réel positif donc ceci n'a pas de sens.

Maintenant on ne décourage pas les bonnes volontés, je vais te donner une indication pour cette démo.

Soit et x un élément qcq K.

On a (par définition)
d'où (d'après l'inégalité triangulaire. )
puis passer "à l'inf" exct.
Voilà j'ai donné l'idée essentielle mais attention à bien finir (c'est à dire faire attention à chaque étape ce que tu écris).