PROBA

[Tom123]

Bonjour,
Voila un exo de proba que je n'arrive pas a résoudre
On fixe n un entier positif. Soient {Xk, k ≤ n} une suite de Bernoulli indépendantes
qui correspond aux n lancers d’une pièce de monnaie du joueur A. On appelle {X'k, k ≤ n} la suite
de n lancers correspondante au joueur B. On suppose que {Xk, X'k, k ≤ n} sont indépendantes. On
dit que A fait égalité avec B au coup k si Xk = X'k, et on va s’intéresser au nombre de coups avec
égalité. On pose Sn ce nombre parmi les n premiers coups.
1. Comment écrire Sn en fonction des {Xk, X'k, k ≤ n} ?
2. Quelle est la loi de Sn?
3. Calculer E[Sn] et var(Sn).

pour la 1 je peux dire que Sn=somme de k=1 à n de [ind(Xk=X'k)]
ou ind est la fonction indicatrice.
mais je vois pas trop a quoi ça m'avance
et pour E[Sn] j'ai trouvé n/2.
Voila c'est tout ce que j'ai si qqun a des indication pour me lancer je suis preneur...

[pascal16]

Xk = X'k : en clair c'est "les deux font pile ou les deux font face au kième lancer" ?

[Tom123]

Je pense que c'est ça... Après rien ne nous dit qu'on ne peux pas avoir Xk=1 si pile et Xk=0 si face et X'k=1 si face et X'k=0 si pile mais au final je pense que çà revient au même.

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1) me semble convenir

Maintenant ne prend que 2 valeurs 0 ou 1 (c'est une v.a de Bernouilli) et vu l'indépendance de
et de c'est très facile de voir que le paramètre est 1/2.
Encore vu l'indépendance de toutes las v.a mises en jeu on en déduit que
suit la loi Binomiale (n,1/2).
Mais alors aussi
Donc

[pascal16]

Même raisonnement, la réponse est plus courte que l'énoncé.

[Tom123]

Merci beaucoup
Du coup pour la 2) je suis encore un peu bloqué je ne vois pas a quelle loi cela fait allusion...
si je remplace |Xk-X'k| par (Xk-X'k)^2 je trouve:
Sn = n-(X1-X1X'1-X1X'1+X'1+...+Xn-XnX'n-XnX'n+X'n)
Du coup ça ressemble un peu a une loi Binomiale mais bon...

[Tom123]

Ok j'avais pas vue la suite de la réponse

[Tom123]

merci ça me parait clair, mais si je fais se que j'ai fait et après j'écrit "Donc Sn suit un loi binomiale de paramètre 1/2,n" c'est bon aussi ? car du coup l'indépendance de tout les termes n'est pas évidente... X1 et X1X'1 sont indépendant ?

[aviateur]

Non à priori ces 2 va ne sont pas inddpendantes' si elles le sont il faut le prouver
D autre part quand tu dis ça ressemble à une loi binomiale il faut savoir le justifier'

[LB2]

Petite question mais tes Bernoulli X_n et X'n (quelle mauvaise notation soit dit en passant) sont de paramètre 1/2 ?

Parce qu'on pourrait faire le même exercice (et c'est plus rigolo) avec X_n de paramètre p et Y_n de paramètre q

[Tom123]

D'accord merci
sinon oui le paramètre des va de Bernoulli est 1/2 car cela correspond au lancé de pièce

[LB2]

Ben oui mais en général un lancer de pièce peut être biaisé, d'où ma question. Il faut que tu précises dans l'énoncé : lancer de pièce EQUILIBREE ou Bernoulli de paramètre 1/2.

[aviateur]

Bonjour
@LB2 si le paramètre p est qcq ça ne change pas grand chose au raisonnement mais effectivement c'est toujours intéressant de se poser la question.
|X_k-X'_k|=0 ssi (X_k=0 et X'_k=0) ou (X_k=1 et X'_k=1) donc la proba est : q^2+p^2
l'événement contraire a pour proba 2 p q=2p(1-p).