par qaterio » 18 Oct 2018, 20:54
Au 2ème semestre j'ai une initialisation à la topologie en module, mais c'est un peu tard. J'ai un choix à faire parmi 46 problèmes alors je vais en choisir un autre si ça demande des connaissances qui me sont inaccessible à l'heure actuelle, l'idéal ce serait de montrer le problème initial, je vais pas montrer un énoncé faible.
Y'a un des problèmes c'est: Peut-on tracer une droite qui coupe en deux moitiés égales l'aire et le périmètre d'un triangle ? Bien sûr, ils attendent certainement pas qu'on trace juste une droite, mais qu'on généralise les conditions que doit avoir la droite. Lui j'y ai réfléchi pendant 2 heures pour me faire un plan d'attaque, et j'aimerais savoir si ça a une chance de fonctionner:
1- Déjà le triangle, on le place dans un repère orthonormé direct et on prolonge ses côtés pour les représenter par des droites f1(x)=a1.x+b1,f2(x)=a2.x+b2 et f3(x)=a3.x+b3.
2. On cherche les intersections de chacune des droites afin de déterminer les conditions sur a1,a2,a3 et b1,b2,b3 pour que l'ensemble des points (x, Yj) vérifient Yj>f1(x), Yj>f2(x) et Yj<f3(x) et qu'il soit non vide.
3. On introduit une nouvelle droite g(x)=m.x+c vérifiant la propriété qu'on cherche et on montre qu'alors g(x) différent de f1(x),f2(x) et f3(x).
4. On montre que si g(x) passe par l'une des intersections de deux des trois droites f1(x),f2(x),f3(x) alors g(x) admet deux intersections avec ces droites dont l'une avec multiplicité.
Maintenant partie qui me semble un peu plus compliquée, j'ai pas trop détaillée car j'attend d'avoir montré tout ce qu'il y avait précédemment:
5. On détermine l'aire sous/sur la droite g(x) dans le triangle en intégrant avec des bornes adaptés (j'attend d'en arriver là avant de chercher les bornes). Soit I1 et I2 ces intégrales.
6.On détermine le périmètre du triangle de part et d'autre de g(x) (avec un enchaînement de théorème de Pythagore, là encore c'est assez obscure car j'en suis pas à là, je me suis juste fais un plan de démonstration qui me semble pas trop mal....)
7. On détermine les paramètre m et c de la droite g(x) tel que I1=I2 et P1=P2.
Et on montre, ça dépendra du résultat, s'il y a unicité de la représentation ou non.
C'est pas trop mal ? Si je montre chaque point, est-ce que ça suffit à la généralisation, ai-je oublier quelque chose de primordial? Ai-je dit n'importe quoi à un moment ?
Merci de m'éclairer.