Somme double et inégalité

[Agouraptor]

Bonjour à tous;

Je fais un exercice sur les sommes avec trois questions et j'aurais besoin d'aide sur la dernière. J'ai surement juste besoin d'un indice sur par quoi commencer :

Soient et .

1) J'ai démontré que :



2) J'ai ensuite démontré que :

où

3) Maintenant on souhaite déduire de la question précédente l'inégalité suivante, et c'est là ou je bloque :



En fait c'est surtout l'inégalité qui me pose problème. J'imagine qu'on a pas le droit de partir de l'inégalité puisque c'est ce qu'on tente de démontrer, mais alors, par quoi faut-il commencer ?

[aviateur]

A la question 2, l'expression (nM-s)(s-nm) il faut regarder sa valeur maximale en fonction de s.

J'ai une remarque à faire concernant cette exercice.
Il serait bien de démontrer que la majoration demandée est optimale (ou non).

[Agouraptor]

Donc, si j'ai bien compris, je pose :



Je trouve donc une valeur maximum de :



Je vois donc une partie de l'inéquation qui apparait, mais ensuite je ne suis pas sûre de comment continuer.

[aviateur]

Mais il faut simplifier en principe tu dois trouver 1/4*n^2 (M-m)^2

[aviateur]

Et il me semblerait bien que ton maximum est faux. Tu as dû oublier un facteur au terme n(M+m) *

[Agouraptor]

Oui effectivement, pour le maximum je trouve bien :



Mais comment est-ce qu'on se ramène à l'inéquation voulu :

[Agouraptor]

Ah je crois avoir trouvé :

D'après l'énoncer, on a :



On a donc :

et

Donc :



Or, d'après ce que tu m'a aider à démontré :



et donc :



Ou encore :



et finalement :



Est-ce correct ?

[aviateur]

Ici j'ai pas le temps de regarder ton dernier long message je le ferai éventuellement tout à l'heure mais pour le majorant c'est pas ça dans le carré c'est pas M+m mais M-m
D'ailleurs j'ai dit ce que tu devais trouver

[Agouraptor]

Oui, effectivement, désoler, c'est bien un M-m, heureusement je ne pense que cela ne change pas mon raisonnement dans mon dernier message. Merci pour ton aide.

[aviateur]

oui alors c'est ça en corrigeant le signe

[Agouraptor]

Parfait, merci beaucoup.