Bonsoir, Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour cette exercice concernant le chapitre des suites.
Voici l'énoncé :Soit
la suite définie sur
par
et
pour tout entier naturel
.
Etape 1 : Conjecture
Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction
définie sur
par
et la droite d'équation
.
1) Construire les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.
2) Conjecturer un minorant de la suite, et son sens de variation.
Etape 2 : Démonstration
1) Démontrer par récurrence que la suite
est minorée par
.
2) On souhaite maintenant démontrer que la suite
est décroissante.
Méthode 1 : Avec une suite auxiliaire
Soit
la suite définie sur
par
.
a) Montré que la suite
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Déterminer l'expression de
en fonction de
.
En déduire le sens de variation de la suite
.
Méthode 2 : Par étude du signe de
a) Etudier le signe de
pour tout entier naturel
.
b) Conclure
Méthode 3 : Par récurrence
a) Donner le sens de variation de
sur
.
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
,
c) Conclure.
Méthode 4 : Par comparaison de
et
a) Montré que
sur
.
b) En déduire que pour tout entier naturel
,
et conclure.
Voici mes réponses :Etape 1 :1) Voici le lien ou j'ai hébergé l'image représentent le graphique :
https://goopics.net/i/Q99N42) j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît.
Etape 2 : 1) Soit
la proposition "
"
Initialisation :
,
,
. Donc
est vrai
Hérédité : Soit
un entier naturel tel que
. On suppose que
est vrai (
est vrai).
Démontrons le rang k+1 (
)
Par hypothèse de récurrence on a :
=>
car la fonction f est strictement croissant sur
.
<=>
est vraie.
Conclusion
est vrai,
est vrai =>
est vrai. Donc
est vrai pour tout entier naturel
.
2) a) On sait que
alors,
On a donc,
.
La suite
est une suite géométrique de raison
et de premier terme 4.
b) donc
Méthode 2 : a) Donc,
, pour tout
appartenant à
Donc,
Mais je ne suis pas sur du résultat obtenu.
b) Donc ,
, la suite
est alors croissante.
Méthode 3 : a)b) Soit
la proposition "
"
Initialisation :
et
, donc
soit,
donc
est vrai.
Hérédité : Soit
un entier naturel tel que
. On suppose que
est vrai (
est vrai).
Démontrons le rang k+1 (
)
Par hypothèse de récurrence on a :
=>
car la fonction f est strictement croissant sur
.
<=>
est vraie.
c) Conclusion
est vrai,
est vrai =>
est vrai. Donc
est vrai pour tout entier naturel
.
Méthode 4 : a) j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît.
b) j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît.