Démontrer par récurrence

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lequa
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démontrer par récurrence

par lequa » 18 Oct 2018, 16:54

Bonjour ! j''ai un petit problème de compréhension en ce qui concerne un exercice, qui est :

"On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
∑k=0n k^3

Quelle est sa valeur ?"

Alors je sais que la réponse est n²(n+1)² / 4

Mais je ne comprend pas comment y arriver.
Mon développement personnel était
Donc par récurence : k^3 (n+1)^3

Est ce que je dois transformer le (n+1)^3 en : (n+1)² (n+1) ?
Ma correction n'est pas très détaillés, merci de votre futur aide !



Mimosa
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Re: démontrer par récurrence

par Mimosa » 18 Oct 2018, 17:09

Bonjour

Je nai pas compris ce que tu as fait.
Ce qu'il faut faire, est de remarquer que

pascal16
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Re: démontrer par récurrence

par pascal16 » 18 Oct 2018, 17:10

f(n)=n²(n+1)² / 4

récurrence inversée :
f(n+1)-f(n) doit valoir (n+1)^3
(faisable en 3 lignes si on garde la forme factorisée)
et la relation doit être vraie au départ

[ grilled]

lequa
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Re: démontrer par récurrence

par lequa » 18 Oct 2018, 17:15

C'est possible d'avoir les lignes détaillés ? je sais que le k^3 = k^3 (n+1)^3 mais je comprend pas comment à partir de la j’obtiens n²(n+1)² / 4

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Lostounet
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Re: démontrer par récurrence

par Lostounet » 18 Oct 2018, 17:17

lequa a écrit:Bonjour ! j''ai un petit problème de compréhension en ce qui concerne un exercice, qui est :

"On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
∑k=0n k^3

Quelle est sa valeur ?"

Alors je sais que la réponse est n²(n+1)² / 4

Mais je ne comprend pas comment y arriver.
Mon développement personnel était
Donc par récurence : k^3 (n+1)^3

Est ce que je dois transformer le (n+1)^3 en : (n+1)² (n+1) ?
Ma correction n'est pas très détaillés, merci de votre futur aide !



Salut,
Tout d'abord une figure:

Image

Tu vois que le nombre de petits cubes en haut est de: 1^3+2^3+...+5^3

Il est le même que le nombre de cubes en bas: nous avons (1+2+3....+5) rangées de (1+...+5) cubes.
Or 1+2+...+5 = (5*6)/2 (c'est une formule du cours n(n+1)/2)

Alors on voit sur le dessin pourquoi la somme des cubes est la même que [n(n+1)/2]*[n(n+1)/2].

Maintenant, ce qu'il faut faire c'est le prouver !
Le principe de la récurrence consiste à vérifier si pour n=1 la propriété est vraie. C'est facile à voir.


1^3+2^3+....+n^3 = [n^2(n+1)^2]/4
Est-elle vraie pour n=1 ?
A-t-on 1^3 = (1^2*(1+1)^2)/4 ?

Ensuite il faut supposer la propriété vraie au rang n et essayer de la montrer au rang n+1.

Donc tu supposes que:
1^3+2^3+....+n^3 = [n^2(n+1)^2]/4

Le but que tu réussises à montrer que: (**)

1^3+2^3+....+n^3 + (n+1)^3 = [(n+1)(n+2)^2]/4

Donc partons de:


1^3+2^3+....+n^3 = [n^2(n+1)^2]/4

Vois-tu ce qu'on doit ajouter aux deux côtés de cette égalité pour aboutir à (**) ?
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