lequa a écrit:Bonjour ! j''ai un petit problème de compréhension en ce qui concerne un exercice, qui est :
"On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
∑k=0n k^3
Quelle est sa valeur ?"
Alors je sais que la réponse est n²(n+1)² / 4
Mais je ne comprend pas comment y arriver.
Mon développement personnel était
Donc par récurence : k^3 (n+1)^3
Est ce que je dois transformer le (n+1)^3 en : (n+1)² (n+1) ?
Ma correction n'est pas très détaillés, merci de votre futur aide !
Salut,
Tout d'abord une figure:
Tu vois que le nombre de petits cubes en haut est de: 1^3+2^3+...+5^3
Il est le même que le nombre de cubes en bas: nous avons (1+2+3....+5) rangées de (1+...+5) cubes.
Or 1+2+...+5 = (5*6)/2 (c'est une formule du cours n(n+1)/2)
Alors on voit sur le dessin pourquoi la somme des cubes est la même que [n(n+1)/2]*[n(n+1)/2].
Maintenant, ce qu'il faut faire c'est le prouver !
Le principe de la récurrence consiste à vérifier si pour n=1 la propriété est vraie. C'est facile à voir.
1^3+2^3+....+n^3 = [n^2(n+1)^2]/4
Est-elle vraie pour n=1 ?
A-t-on 1^3 = (1^2*(1+1)^2)/4 ?
Ensuite il faut supposer la propriété vraie au rang n et essayer de la montrer au rang n+1.
Donc tu supposes que:
1^3+2^3+....+n^3 = [n^2(n+1)^2]/4
Le but que tu réussises à montrer que: (**)
1^3+2^3+....+n^3 + (n+1)^3 = [(n+1)(n+2)^2]/4
Donc partons de:
1^3+2^3+....+n^3 = [n^2(n+1)^2]/4
Vois-tu ce qu'on doit ajouter aux deux côtés de cette égalité pour aboutir à (**) ?