Suites
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 15:01
Rebonjour , je suis nouvelle sur ce site et j’ai deja envoyé cet exercice mais je ne sais pas s’il a été posté ou pas! (Ni comment verifier) c’est pourquoi le revoilà:
On considere les suites (Xn) et (Yn) définies sur N* par:
Xn=Somme(k=1/k=n) 1/k^3
Et Yn= Xn +1/n^2
a. determiner les variations de (Xn)
2. Montrer que yn+1 -yn = (-n2-3n-1) /(n^2(n+1)^3)
(Voilà ce que j’ai fait:U(n+1)-Un= (1/(n+1)^3) -1/n^3
or n^3< (n+1)^3
1/n^3> 1/(n+1)^3
D'où U(n+1)-Un<0! *
Donc Un est decroissante!
et en deduire les variations.
3. Comparer xn et yn
4.Montrer qu'elles sont bornées.
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Ben314
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par Ben314 » 17 Oct 2018, 16:09
Salut,
Cher93 a écrit:(Voilà ce que j’ai fait:U(n+1)-Un= (1/(n+1)^3) -1/n^3
Dés le départ, je comprend pas trop : ton exo contient des tas de suites (Xn) ; (Yn) ; (yn) mais... aucune qui s'appelle (Un) donc je vois pas à quelle question tu répond (sans parler que je soupçonne que la suite (yn) du 2), c'est la suite (Yn) du 1.)
Et si jamais la suite (Un), c'est la suite (Xn) alors ton truc (en rouge) est clairement faux vu que par exemple, pour n=2, on a U(n+1) - U(n) = U3 - U2 = ( 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 ) - ( 1/1^3 + 1/2^3 ) = 1/3^3
(et si (Un) c'est (Yn), c'est faux aussi...)
Modifié en dernier par
Ben314 le 17 Oct 2018, 16:36, modifié 3 fois.
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:33
Vous avez raison il n’y a pas de Un mais c’est Xn !
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:36
Voila pour la premiere question:
n+1)-Xn=Xn+1/(n+1)^3 -Xn
= 1/(n+1)^3
Qui est positif ! Donc Xn est croissante!
(Est-ce juste?!)
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:37
X*(n+1)-Xn=...
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Ben314
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par Ben314 » 17 Oct 2018, 16:38
Oui, c'est bien ça.
Et jusque là, c'est "passablement évident". C'est un peu plus calculatoire pour la suite (Yn).
Sinon, c'est pas con de s'habituer au MimeTeX :
c'est plus joli et surtout plus lisible...
Y'a un bout de doc bien fait là :
guide-utilisation-f41/ecrire-des-belles-formules-mathematiques-balises-tex-t70548.htmlEt c'est vraiment pas long de s'y mettre, surtout pour les trucs basiques style exposants, indices et fractions.
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:43
D’accord!
Alors peut-on passer à la deuxième question?
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:45
En fait non c’est bon pour la deuxième question!
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:46
Je trouve Yn decroissante!
Pour la question 3 comment suis je censé les comparer?
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:52
La question 4! Montrer qu’elles sont bornées???
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Ben314
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par Ben314 » 17 Oct 2018, 16:52
Cher93 a écrit:Je trouve Yn decroissante!
Pour la question 3 comment suis je censé les comparer?
Les "comparer", vu le contexte, ça veut dire déterminer lequel de
et de
est le plus petit (ce qui est complètement évident, mais c'est pour t'aider pour la question suivante).
Et pour la 4, il n'y a aucun nouveau calcul à faire : ça se déduit (entièrement) des questions précédentes.
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 16:55
Xn<Yn
Mais comment cela peut-il m’aider?
On peut commencer par le fait que Xn>0
Et Yn>0 non?
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Ben314
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par Ben314 » 17 Oct 2018, 16:59
Oui,
c'est un des "morceaux du puzzle".
Aprés effectivement comme deuxième "morceau", on peut prendre
ce qui donne
(c'est pas celui que j'aurais pris comme deuxième, mais ça marche aussi)
Et il reste un troisième "morceau" à trouver qui dirait que
(avec une constante) pour finir le puzzle.
Et ce "morceau" là, lui aussi tu le connaît déjà (pas de nouveau calcul à faire).
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 17:06
Alors:
Xn<X(n+1)
Xn+(1/n^2) <
n+1) + (1/n^2)
Yn <
n+1)+ 1/(n^2) ??
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 17:07
X*(n+1) (desolé)
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 17:22
Je ne sais pas!!!!
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Cher93
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par Cher93 » 17 Oct 2018, 17:40
J’ai besoin d’aide s’il vous plaît!
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pascal16
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par pascal16 » 17 Oct 2018, 18:47
yn+1 -yn =
=1/(n+1)³+1/(n+1)²-1/n²
tu mets tout sur n^2(n+1)^3
rappel (n+1)³= n³ + 3n²+ 3n +1
les n³ disparaissent en haut et 2n²-3n²=-n²
finalement yn+1 -yn = (-n²-3n-1) /(n^2(n+1)^3)
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par Ben314 » 17 Oct 2018, 19:07
Les majorants/minorants, il sont complètement couillons :
- La suite (Xn) est croissante, donc pour tout n, on a X1 <= Xn
- La suite (Yn) est décroissante, donc pour tout n, on a Yn <= Y1
Donc, pour tout n, on a X1 <= Xn < Yn <= Y1 ce qui montre que les deux suites sont bornées.
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