Le nombre mystère (faisable dès la fin du collège)
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Vexalord
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par Vexalord » 16 Oct 2018, 01:24
Un lycéen a supprimé un nombre parmi dix entiers consécutifs. La somme des entiers restants est alors 2018. Quel est le nombre supprimé ?
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aviateur
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par aviateur » 16 Oct 2018, 09:57
217
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Lostounet
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par Lostounet » 16 Oct 2018, 10:08
aviateur a écrit:217
Soit m le premier entier et m+k l'entier manquant.
m+m+1...+m+9 - (m+k)=2018
9m+45-k=2018
Qui a pour plus petites solutions positives:
m=220
k=7
Donc le nombre manquant est 227.
Maintenant si Aviateur trouve 217 c'est que ... je me suis ptet gourré :p
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aviateur
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par aviateur » 16 Oct 2018, 10:36
Lostounet a écrit:Maintenant si Aviateur trouve 217 c'est que ... je me suis ptet gourré :p
Pas du tout c'est moi qui a faux!!
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Vexalord
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par Vexalord » 16 Oct 2018, 17:55
Lostounet a écrit: aviateur a écrit:217
Soit m le premier entier et m+k l'entier manquant.
m+m+1...+m+9 - (m+k)=2018
9m+45-k=2018
Qui a pour plus petites solutions positives:
m=220
k=7
Donc le nombre manquant est 227.
Maintenant si Aviateur trouve 217 c'est que ... je me suis ptet gourré :p
Bravo à Lostounet pour sa réponse, c'est bien ça ! Voilà une bonne manière de résoudre ce problème :
Notons
le plus petit élément de la liste considérée et
le nombre ôté par le lycéen. On a donc
.
Soit
, alors
et
, ou encore
.
Par hypothèse :
, et comme
, alors
et
donc
, c'est-à-dire
.
Il en résulte que
.
Le nombre ôté de la liste est donc 227.
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aviateur
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par aviateur » 16 Oct 2018, 18:48
Rebonjour
Ayant ajouté 10 cubes consécutifs mais ensuite j'ai retiré le cube de l un d entre eux et je retrouve 348308 quel est le nombre dont j'
ai retiré le cube ?
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Lostounet
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par Lostounet » 16 Oct 2018, 21:45
5 (2 m^3 + 27 m^2 + 171 m + 405)-348308-(m+k)^3 = 0
Donc:
-k^3 - 3 k^2 m - 3 k m^2 + 9 m^3 + 135 m^2 + 855 m - 346283 = 0
Alors, mod 3:
-k^3=346283 (mod 3)
Donc k^3=1 mod 3
Alors k=1 mod 3 (donc k=1,4,7)
Pour k=1 pas de solution entière.
Pour k=4 m=29
Pour k=7 pas de solution
Donc l'entier manquant est 33
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aviateur
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par aviateur » 17 Oct 2018, 00:00
Oui c est une bonne méthode on trouve bien 33
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LB2
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par LB2 » 17 Oct 2018, 09:37
Sympa les exos d'Alarcon!
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nodgim
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par nodgim » 17 Oct 2018, 10:51
J'ai trouvé le 33, docteur, avec une autre méthode, en supposant 9 termes consécutifs, puis en ajustant.
C'est moins direct que ce qu'a fait Lostounet.
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