Encadrement d'intégrale

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rdt
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encadrement d'intégrale

par rdt » 15 Oct 2018, 22:15

Bonsoir à tous,

Soient :
Int(a, b) f(x) l'intégrale de f de a à b;
e l'exponentielle de 1.

Je ne parviens pas, malgré maintes tentatives, à démontrer l'encadrement suivant :

On considère la suite (In) définie pour n entier naturel non nul par In = Int(0, 1) (x^n)(e^(x^2)).
Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
1/(n+1) ≤ In ≤ e/(n+1).

J'obtiens :
0 ≤ x^n ≤ 1 puisque x appartient à [0; 1];
0 ≤ (x^n)(e^(x^2)) ≤ e^(x^2) puisque e^(x^2) > 0;
0 ≤ (x^n)(e^(x^2)) ≤ e^(x^2) ≤ e^x ≤ e^n+1 puisque 0 ≤ x ≤ 1 ≤ n +1.

Mais en calculant les intégrales de 0 à 1 de n'importe lequel des majorants précédents, je ne trouve pas l'encadrement recherché.

Merci d'avance pour l'éclaircissement.



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Ben314
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Re: encadrement d'intégrale

par Ben314 » 15 Oct 2018, 22:21

Salut,
Vu qu'on sait parfaitement bien intégrer x->x^n (et pas trop x->exp(x^2)), ça semble plus "naturel" d'uniquement encadrer le exp(x^2) par deux constantes (sur [0,1]).
On multiplie ensuite par x^n (sans nouvel encadrement) et on intègre la double inégalité obtenue.
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rdt
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Re: encadrement d'intégrale

par rdt » 16 Oct 2018, 00:30

Délicieuse technique !
Un grand merci à toi, Ben314.

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Ben314
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Re: encadrement d'intégrale

par Ben314 » 16 Oct 2018, 10:28

Après, si on veut chercher un peu plus compliqué, cet encadrement montre bien sûr que In->0, mais par contre concernant Jn=(n+1)In, tout ce que ça prouve, c'est qu'il est entre 1 et e (donc la suite (Jn) est bornée) et on peut se poser la question de savoir si Jn est convergente et, si oui, quelle est sa limite ?
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