Théorème du rang constant (preuve)

[goupil59]

Bonjour,

Nous avons vu en cours de géométrie différentielle le théorème du rang constant, énoncé comme suit :

Soit des ouverts et de classe . Soit tel que est de rang . Alors, il existe un voisinage de dans , un voisinage de dans et deux difféomorphismes tels que .

Dans le début de la preuve, nous avons écrit :

donc avec

En remplaçant f par avec on obtient

Ensuite, on montre le théorème dans ce cas là, et on conclut que le théorème est démontré.

Cependant, une fois le théorème montré dans le cas ci-dessus, on a juste montré l'existence des ouverts et des deux difféomorphismes tels que
Or, n'est pas un difféomorphisme ??? (B n'est ni injective, ni surjective...)
Comment conclure dans le cas général ?

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Déjà, ton théorème, il est énoncé de travers : Tes difféo. et ils ne vont pas de et de .
En général, on énonce le bidule avec le premier qui va d'un voisinage du zéro de dans et le second qui va de dans un voisinage du zéro de .
Là où ça se voit en particulier que ton truc est incohérent, c'est que ta formule finale, elle dit que dans l'image de , il y a certains vecteurs dont les dernières coordonnées sont nulles alors qu'il n'y a aucune raisons qu'il y ait de tels vecteurs dans le voisinage de .

donc avec

Ensuite, si on ça au pied de la lettre, c'est faux. La matrice est de rang 2, mais si on prend la sous matrice 2x2 en haut à gauche (en rouge), son déterminant est nul.
Le résultat en question n'est vrai que "à permutation des lignes et colonnes prés", c'est à dire à un changement de l'ordre des bases (de départ et d'arrivé) prés (ici la sous matrice 2x2 en bleue a bien un déterminant non nul).
Ensuite, vu que de toute façon on va être obligé de faire des changement de base, ça me semblerait quand même infiniment plus simple (et logique) d'utiliser directement le résultat (élémentaire) d'algèbre linéaire qui te dit que, si une matrice (comme différentielle) rectangulaire de taille est de rang , alors elle est équivalente à la matrice rectangulaire , c'est à dire que avec inversible de taille et inversible de taille .
Ensuite, ta nouvelle fonction , ben tu la fabrique en composant à gauche par , à droite par et en faisant aussi des translations [qui vont disparaître lorsque tu va évaluer la différentielle] de façon à amener (au début) le zéro de sur puis (à la fin) amener sur le le zéro de .
Cette nouvelle fonction va être définie sur un voisinage du zéro de à valeur dans un voisinage du zéro de et sa différentielle en 0 ( de ) va avoir pour matrice .

Et si on cherche le "lien" avec ce que tu as écrit dans ton précédent post, en fait, ça signifie "qu'en s'y prenant correctement", la matrice B dont tu parle, ça serait plutôt un truc du style qui correspond à celle que j'ai appelé ci dessus et qui est une matrice carrée correspondant à un automorphisme de

[goupil59]

Merci pour ta réponse.

Je ne connaissais pas ce théorème d'algèbre linéaire mais, effectivement, c'est vrai que c'est plus simple et plus clair comme cela.

En fait, je me suis un peu trompé dans l'égalité finale en énonçant le théorème. Ce que le prof a écrit au tableau est plutôt :

Soit des ouverts et de classe . Soit tel que est de rang . Alors, il existe un voisinage de dans , un voisinage de dans et deux difféomorphismes tels que .

Peut être que cela reste faux malgré tout (au vu de la preuve qui suit, ça n'a pas l'air de changer grand chose) ??? (et, connaissant le prof en question, ça ne m'étonnerait pas trop ). Effectivement, les énoncés (et les preuves) trouvés sur internet ou dans des livres se rapprochent beaucoup plus de ce que tu énonces toi. Cependant, dans le reste de la preuve (que je pensais avoir comprise, du moins jusqu'aux trois-quarts...), lors de la "construction" des difféomorphismes, aucune mention n'est faite d'un voisinage de 0. J'aimerais quand même comprendre où se situe l'arnaque là dedans... J'ai quelques doutes à certains endroits de la preuve, mais je ne sais pas trop comment corriger les erreurs (s'il y en a)...

Pourrais-tu y jeter un coup d'oeil stp ?

En supposant , voici comment se poursuit la preuve faite en cours (j'ai essayé de la découper en étapes pour la rendre plus "lisible") :

Etape 1 :
où projection canonique.
On considère l'application
Sa différentielle est

Puisque , par le théorème d'inversion locale, il existe un ouvert contenant et un difféo tel que (là, j'ai quand même un doute sur le fait que l'on ait bien ).

On a donc On pose . Comme ne change pas les r premières coordonnées, on a
On obtient alors . On note

Etape 2 :
Ensuite, on a prouvé un lemme qui dit que si avec et avec alors,

Là dessus, je pense c'est bon.

Etape 3 :

On montre que

En effet, par le lemme,
Quitte à permuter les colonnes de h, on peut supposer par l'absurde que


par le lemme (là encore, à mon avis, au vu de ta remarque précédente, c'est plutôt "modulo échange des lignes et des colonnes", non ?) donc et , ce qui est impossible par le lemme.

Etape 4 :

D'après le point précédent (ce que j'ai appelé ici "étape 3"), (???) Là, j'avoue que je ne vois pas trop le lien avec l'étape précédente... .
On pose


Par le théorème d'inversion locale, il existe voisinage de dans tel que difféo là encore, j'ai un doute sur les ensembles de départ et d'arrivée).
Le théorème est démontré.

Si tu pouvais me dire à quels endroits ça coince, ça m'aiderait vraiment beaucoup !
Merci d'avance !

[Ben314]

Je vais y aller par petit bouts (i.e. je rallongerais au fur et à mesure).

(A) Le théorème d'algèbre linéaire dont je parle, il est totalement élémentaire et tu l'a obligatoirement vu.
Si tu as une application linéaire de rang , tu as (par définition) donc il existe une base de que tu peut compléter en une base de .
Vu que, pour tout , on a , il existe tel que .
Posons aussi et considérons une base du noyau .
SI on prend maintenant un quelconque, vu que il s'écrit (de façon unique) où et, comme c'est que s'écrit (de façon unique) . Donc est une base de .
Ca signifie en particulier que (*)
Mais ça signifie aussi que, dans les bases de et de , la matrice de est (par construction) .

(*) Et ça, tu l'a obligatoirement vu : ça fait parti des théorème "de base" de l'algèbre linéaire et c'est pour ça que je disait au début que le résultat en question, tu l'a forcément déjà vu. Mais c'est vrai que souvent, on ne mémorise que la partie du résultat qui parle des dimensions du noyau et de l'image et on "oublie" ce que ça dit en terme de matrices.

(B)

Soit des ouverts et de classe . Soit tel que est de rang . Alors, il existe un voisinage de dans , un voisinage de dans et deux difféomorphismes tels que .

Ca, c'est encore plus incohérent qu'avant : non seulement tu n'a pas réglé le "problème" consistant à voir qu'il n'y a aucune raison qu'il y ait des vecteurs de la forme (?,...?,0,...0) dans l'ensemble d'arrivé de , mais en plus ça n'a plus de sens vu qu'on sait pas du tout ce que représente les là dedans. Tant qu'on avait que des dans la formule, on pouvait considérer que la formule constituait un "abus de langage" (fréquent), c'est à dire que, écrite correctement, elle aurait du être précédée d'un , mais si tu met aussi des sans préciser d'où ils sortent (ou comment ils sont quantifiés), ben là, c'est plus un simple "abus de langage" : c'est du "grand n'importe quoi".
Et s'il faut le comprendre sous la forme alors non seulement ça reste faux (à cause du 1er argument çi dessus), mais même si c'était vrai, je pense que ça n'aurais aucun intérêt comme théorème vu le "peu" que ça dit (aucune méthode "calculatoire" expliquant comment on obtient les partant des )

(C)

Etape 1 :
où projection canonique.
On considère l'application
Sa différentielle est
Puisque , par le théorème d'inversion locale, il existe un ouvert contenant et un difféo tel que (là, j'ai quand même un doute sur le fait que l'on ait bien ).

Et tu as raison (de douter) : la fonction , elle envoie le vecteur sur le vecteur dont les premières coordonnées sont celles de et les dernières sont celles de . Et comme ce vecteur, il y a aucune raison qu'il soit égal à , la fonction n'envoie sûrement pas un voisinage de sur lui même (et donc sa bijection réciproque locale non plus)

Je pense que je vais m’arrêter là : le reste, c'est du même tonneau : les "idées", c'est évidement les bonnes (= utiliser le théorème d'inversion locale), mais par contre y'a la moitié des ensemble de départ ou d'arrivé dont il parle qui sont complètement faux et ces histoires de matrices en bloc, c'est évidement systématiquement "à permutation des bases prés" (voir l'exemple de mon premier post).
Sans parler du fait que, si tu n'écrit "que" ça :
avec
Sans aucune précision concernant les propriétés des sous matrices * ; ** et ***, c'est assez clair que ça va merder dans la suite vu que tu as uniquement traduit que le rang est et pas qu'il est

[Ben314]

Soit des ouverts et de classe . Soit tel que est de rang . Alors, il existe un voisinage de dans , un voisinage de dans et deux difféomorphismes tels que .

En fait, j'avais pas trop regardé ce qu'il disait ton "théorème" : dans le brouillard, ça me semblait être un "ersatz" du théorème des fonctions implicites ou un truc du même genre et je m'était pas appesanti sur la question de regarder ce qu'il disait.
Sauf qu'en regardant comment s'y prendre pour démontrer exactement ça, ben je me suis rendu compte que c'est "du grand n'importe quoi" vu que ce que ça dit en particulier (1), c'est qu'avec l'unique hypothèse " est de rang ", on en déduit que est de rang au plus dans un voisinage de alors que ça, c'est bien connu pour être parfaitement faux (c'est le contraire qui est vrai : localement, le rang ne peut que augmenter).
Donc je suis allé regarder (2) ce que c'était ce fameux Théorème du rang constant (<- Lien Wiki) pour y constater que, bien évidement, le fait que le rang soit constant (au voisinage de ) c'est bien évidement une des hypothèses du théorème alors que c'est clairement pas le cas dans la façon dont est exprimé le théorème en question (il me semble clair que le de ta prose, c'est UN des éléments de U et pas plus)

Et sinon , Là (<-lien) le Th.1.10.2 (page 28) énonce puis donne une preuve du résultat en question avec une approche (et des notations) assez proches des tiennes (sauf que c'est correct alors que ton truc...)

(1) Modulo de voir le résultat final comme un "pour tout (x0,...xn) dans ??? on a ..."
(2) Les noms que portent les théorème, j'ai jamais été foutu de m'en rappeler : quand j’étais étudiant, j'ai toujours rédigé en écrivant "Or, on sait que ... " puis en écrivant les hypothèses et conclusions du théorème que j’allais utiliser...

[goupil59]

Désolé de répondre aussi tard, quelques soucis ces derniers temps alors j'attendais d'avoir vraiment le temps de m'y replonger "à tête reposée" avant de poster à nouveau.

Effectivement, dit comme cela, j'ai vu ce résultat d'algèbre linéaire en L1 (du moins pour l'égalité qui en découle, sous le nom de "théorème du rang"), mais je ne me souvenais plus trop de la preuve (et donc plus de ce que cela impliquait en terme de matrices). Merci pour la preuve, c'était bien clair

Bon bah alors dans ce cas pas étonnant que je n'y comprenait pas grand chose... En même temps, connaissant le prof en question, ça m'étonne à peine (il est justement réputé pour son "grand n'importe quoi" comme tu dis, tant auprès des étudiants que de ses collègues). Merci aussi pour la référence du poly, je pense que ça pourra me servir y compris pour d'autres notions de cette UE (j'avais pourtant cherché pas mal de preuves de ce théorème mais je n'étais jamais tombé dessus... Étrange).

Juste pour être sûr d'un truc :
Dans la preuve du poly, on construit le difféo puis on définit pour . On écrit ensuite puis on en déduit que
- Et là, on écrit que "Quite à réduire le voisinage de , on peut supposer que les fonctions ne dépendent que des variables sur V". Juste pour être sûr : c'est bien dû au fait que les dérivées partielles par rapport aux autres variables soient nulles sur un voisinage de (ce qui entraîne donc que les fonctions partielles par rapport à ces variables soient constantes sur ce voisinage) ? C'est donc là qu'intervient l'hypothèse "de rang constant sur un voisinage de (et non juste en ) ? Hormis à cet endroit bien précis, je n'ai pas vu où cette hypothèse intervenait (mais c'est vrai que pour ce passage, elle me semble essentielle...)

[Ben314]

oui, mais... non....
En fait j'avais pas lu la preuve du poly. en détail. J'avais juste regardé les énoncé du théorème et vu que là, c'était O.K. (modulo qu'il faudrait peut être écrire que, pour le point 3, V et W sont des voisinages de 0_{R^m} et de 0_{R^n}).
Par contre la preuve déconne : il y a pas mal de faute de frappe du style que , mais surtout, des "imprécisions" qui me semblent pas terrible, par exemple ça :
. . . . Comme les premières colonnes de forment une famille libre, on en déduit que les suivantes sont nulles.
En fait, ce que tu déduit, c'est que les colonnes suivantes sont des combinaison linéaires des premières puis, vu le du bloc en haut à gauche et le bloc à droite de ce bloc , tu en déduit que les fameuse combinaisons linéaires ne peuvent être que nulles (et je sais pas si le raisonnement est forcément super clair pour un étudiant qui lirait la prose en question).

Sinon, concernant ton truc en bleu, je suis pas sûr que tu ait bien compris : sur le voisinage qu'on a pour le moment, ce qu'on sait, c'est que les dérivées partielles de certaines fonction sont nulles et on voudrait en déduire que les fonction sont "constantes par rapport à une certaine variable" (i.e. ne dépendent pas de la variable en question). Sauf que, rien que pour les fonction de la variable réelle, f'=0, ça n'implique f=Cst que si on est sur un intervalle (*) et que la généralisation en dimension quelconque, elle dit que df=0 => f=Cst que sur une partie connexe. Bref, il dit qu'il faut éventuellement réduire le voisinage au cas où ce dernier ne serait pas connexe (donc prendre par exemple une boule contenue dans le voisinage vu qu'une boule c'est forcément connexe).

Bref et en résumé, c'est "pas mal mieux" que ton truc, mais c'est pas encore le "top du top" ce poly.

(*) La fonction définie sur R* par f(x)=0 si x<0 et f(x)=1 si x>0 est dérivable sur R*, de dérivée partout nulle, mais n'est pas constante.

P.S. Je me demande s'il n'y a pas eu un poly. de cours / bouquin de Michèle Audin sur le calcul différentiel.
Sauf erreur elle est maintenant à la retraite donc son blog. professionnel n'est plus mis à jour, mais, s'il y a eu un tel poly. ça doit être trouvable en grattant un peu (et là, j'aurais une confiance "quasi absolue" dans le contenu du poly .en question). Le seul problème éventuel, c'est si le poly. en question à finalement été édité en temps que bouquin : dans ce cas l'éditeur demande en général à ce que toutes les version (gratuites) du poly. disparaissent du net.

[goupil59]

Oui, c'est vrai qu'il y a des fautes de frappe et des points qui demanderaient un peu plus de détails, mais globalement ça reste quand même assez compréhensible (une simple faute de frappe, ça se repère et ça se corrige assez facilement en général).

. . . . Comme les premières colonnes de forment une famille libre, on en déduit que les suivantes sont nulles.
En fait, ce que tu déduit, c'est que les colonnes suivantes sont des combinaison linéaires des premières puis, vu le du bloc en haut à gauche et le bloc à droite de ce bloc , tu en déduit que les fameuse combinaisons linéaires ne peuvent âtre que nulles (et je sais pas le raisonnement est forcément super clair pour un étudiant qui lirait la prose en question).

Là-dessus, c'est vrai que j'ai pas mal buggé au début. Puis j'ai fini pas trouver une preuve de ce "résultat" sur internet en fouillant un peu.

Sinon, concernant ton truc en bleu, je suis pas sûr que tu ait bien compris : sur le voisinage qu'on a pour le moment, ce qu'on sait, c'est que les dérivées partielles de certaines fonction sont nulles et on voudrait en déduire que les fonction sont "constantes par rapport à une certaine variable" (i.e. ne dépendent pas de la variable en question). Sauf que, rien que pour les fonction de la variable réelle, f'=0, ça n'implique f=Cst que si on est sur un intervalle (*) et que la généralisation en dimension quelconque, elle dit que df=0 => f=Cst que sur une partie connexe. Bref, il dit qu'il faut éventuellement réduire le voisinage au cas où ce dernier ne serait pas connexe (donc prendre par exemple une boule contenue dans le voisinage vu qu'une boule c'est forcément connexe).

Effectivement, je n'avais pas compris ça comme ça... Merci !


Je ne pense pas qu'il y ait de livre de Michèle Audin en calcul diff. Ils ont pas mal de livres d'elle à la BU (et à chaque fois en 10-15 exemplaires), et je n'ai jamais vu son nom dans le rayon calcul diff (que je connais assez bien). J'ai regardé vite fait sur internet et je n'ai pas trouvé non plus.


Sinon, juste une dernière question, concernant le point (1) du théorème (vu en cours avec le point (2) comme corollaire du théorème, qui correspond au point (3) du poly) :
Comme dans sa version (fausse) du théorème, le prof supposait simplement , les corollaires étaient immédiats (dans sa version, il gardait les deux difféos à chaque fois au lieu de n'en prendre qu'un seul). Sauf que là, du coup, ça demande quand même une preuve...
Pour le point (2), aucun souci.
Mais pour le point (1) :
(J'imagine que )
Quand on écrit , cela signifie donc que, pour , Et là, il y a un truc qui m'échappe... J'ai essayé de remplacer par mais ça ne m'avance pas beaucoup...
Modulo cette égalité dont je ne suis pas encore convaincu, le fin de la preuve me semble cohérente.

[Ben314]

1) Attention au fait que, pour les points 1. et 2. du théorème 1.10.2 du lien (1) il suffit que la différentielle soit injective (ou surjective) au point xo pour être sûr que ça marche vu que dans les deux cas, ça implique qu'elle reste injective (ou surjective) sur un voisinage de xo (pourquoi ?)

2) Concernant la fin de ton post., si tu remonte en haut de la page pour y trouver la définition de la fonction , tu y trouve que, dans le cas où (qui nous intéresse ici), ben la fonction c'est la même que la fonction du bas de la page (2). Donc et

(1) Points qui sont beaucoup plus souvent utilisés que le point 3. qui lui "fait le lien" entre les deux.
(2) Et je comprend ni pourquoi il à introduit un nouveau nom de fonction, ni pourquoi il est passé avec des z à la place des x, ni pourquoi le est soudainement devenu un .

[goupil59]

1) Attention au fait que, pour les points 1. et 2. du théorème 1.10.2 du lien (1) il suffit que la différentielle soit injective (ou surjective) au point xo pour être sûr que ça marche vu que dans les deux cas, ça implique qu'elle reste injective (ou surjective) sur un voisinage de xo (pourquoi ?)

Oui, ça j'avais bien compris. Par contre je ne vois pas pourquoi le fait que la différentielle soit injective (ou surjective) au point implique qu'elle reste injective (ou surjective) sur un voisinage de . J'ai effectivement trouvé certaines preuves sur internet qui expédiaient la preuve de ces corollaires avec une phrase du genre puis concluaient en disant "donc le théorème précédent s'applique", mais je n'ai pas réussi à montrer ce résultat... C'est un truc que je suis censé avoir vu en licence ou pas ?

2) Concernant la fin de ton post., si tu remonte en haut de la page pour y trouver la définition de la fonction , tu y trouve que, dans le cas où (qui nous intéresse ici), ben la fonction c'est la même que la fonction du bas de la page (2). Donc et

Ah bah oui, au final, c'est tout bête Merci !

[Ben314]

C'est un truc que je suis censé avoir vu en licence ou pas ?

Oui, forcément (et j'en ait déjà parlé plus haut).
Dit de façon pédante, ça te dit que si une application est de classe sur alors l'application est "semi continue inférieurement" (*).

Dit de façon plus "concon", si en un certain , on a alors il existe un voisinage de tel que pour tout (localement, le rang ne peut que augmenter)

Et la preuve est "bébète" : si , ça signifie qu'il existe un sous-déterminant de la matrice qui est non nul et que, vu que l'application qui à associe ce sous déterminant là dans est continue, ça signifie que le sous déterminant en question est non nul sur tout un voisinage de ce qui assure que le rang de la matrice est au moins égal à .

Et bien sûr, si est maximal (i.e. égal au max des dimensions de la matrice, c'est à dire si la matrice correspond à une application linéaire injective ou bien surjective), ce "au moins égal à " devient un "forcément égal à ".

Et là où tu as forcément vu le résultat en question, c'est dans le cas des matrices nxn où ça montre que l'ensemble des matrices inversible est ouvert (par continuité de la fonction déterminant) ce qui signifie que, si une matrice est inversible, il existe un voisinage de la matrice où elles sont toutes inversible. Là, la seule différence, c'est le fait que l'existence d'un sous déterminant rxr non nul, ça prouve pas que la matrice est de rang r, mais uniquement qu'elle est de rang au moins égal à r.

(*) En espérant pas ne me gourer sur le "inférieurement".

[goupil59]

Ok... J'avais en effet vu cet argument pour montrer que l'ensemble des matrices inversibles était ouvert, mais je n'aurais sans doute jamais pensé à l'utiliser dans ce contexte.

Merci beaucoup en tout cas pour toutes ces explications !