Preuve directe racine de 2 ?

[qaterio]

Bonjour,
je me demande simplement s'il existe une preuve directe de l'irrationalité de racine de 2, sans passer par un raisonnement par l'absurde.
J'ai cherché sur internet, j'ai pas trouvé... Alors si vous savez si oui ou non, je vous en serait reconnaissant.

[FLBP]

Salut,
Cela se démontre également en développant racine de 2 en fraction continue,
Si il y a une périodicité dans les facteurs, elle est infinie, et donc son résultat irrationnel.
(Cela ne marche que pour les irrationnels quadratiques)

[qaterio]

Ok merci, je vais chercher ça sur internet, je devrais trouver avec cette précision.

[Ben314]

D'un autre coté, montrer qu'un réel est Irrationnel, c'est montrer qu'il n'est pas rationnel.
Et pour démontrer qu'une propriété simple (par exemple s'écrire p/q) n'est pas vrai, ça semble quand même "bien normal" d'y aller par l'absurde, non ?

Sinon, concernant la question de l'irrationalité de racine(2), je t'inciterais plutôt à commencer par regarder comment se généralise la preuve sous la forme suivante :
Si un polynôme à coefficients entiers (et avec bien sûr) admet une racine rationnelle (sous forme irréductible), alors divise et divise . (1)
Qui admet le corollaire immédiat suivant :
Si un polynôme unitaire (i.e. ) à coefficients entiers admet une racine rationnelle alors cette racine est entière (et divise ).
Ensuite, tu applique ce résultat à unitaire à coeff. entiers : S'il avait une racine rationnelle (2), alors elle serait entière et diviserait 2. Or les seuls diviseurs de 2 sont 2 et -2 et aucun des deux n'est racine de P. Donc P n'a pas de racine rationnelle ce qui prouve que racine(2) est irrationnel.

(1) Jusque là, on peut pas vraiment dire que "c'est de l'absurde" vu qu'on ne sait pas au départ si le polynôme P admet ou n'admet pas des racines rationnelles donc l'hypothèse n'est pas forcément "absurde".
(2) Par contre, là, effectivement "c'est de l'absurde", vu que ce polynôme particulier n'a pas de racine rationnelle.

[qaterio]

@Ben314,
Je connaissais pas cette démonstration, elle est plus originale que celle que l'on voit partout tout le temps lorsque la question est posée.
Oui, c'est vrai que ça parait plus logique d'y aller par l'absurde, mais je voulais voir à quoi pouvait ressembler une preuve "directe" de l'irrationalité de racine de 2 car j'avoue que j'en avais pas la moindre idée.
En tous cas merci bien.

PS: vous êtes professeur à l'université, alors j'aurais aimé savoir si vous aviez des sujets de partielles ou si vous saviez comment en trouver pour s'entraîner ? Les fiches de TD (et Ô putain j'en bouffe) c'est bien, mais à un moment on a envie de se mettre en condition...

[Ben314]

D'anciens sujets, ça, vu mon age, c'est sûr que j'en ait plein mon ordi., sauf que les programmes (donc les sujets) changent à la fois "temporellement" : chez nous, on a réformé le bidule y'a 2 ans ET géographiquement : d'une Fac. à l'autre c'est pas exactement les même programme aux différents semestres (alors qu'au final en L3, on va dire que grosso modo c'est à peu prés la même chose)

Bref, c'est pas gagné que j'ai dans ma culotte un (ou des) sujets à te proposer...

[qaterio]

@Ben314,
Apparemment, les premières partielles que j'aurai porteront sur {Ensembles et applications (surjectivité etc., pas de relation binaire) et Nombres complexes (à peut près tout, modules, trigo, racines n-ième...)}. Ne sait-on jamais si vous en avez de ce type, mais si vous n'en avez pas c'est pas grave, comme je l'ai dit, les fiches TD c'est super pour s'entraîner, je me vois progresser à la fin de chacune.

[Ben314]

Ben par exemple là, c'est un peu la m... : autant que je me souvienne, à Clermont-Ferrand, on a jamais fait de couplage (dans une même U.E.) entre les complexes et "la logique / les ensemble".

Tu es pas allé regarder à la B.U. s'ils ont pas archivés les partiels des années précédentes ?

Au pire, demande à ton prof. de cours ou de T.D. (ou "d'enseignement intégré" si tu n'a qu'un prof.) : normalement, lui des annales de la même U.E., il doit en avoir (sauf si c'est la première année que l'U.E. existe sous cette forme là)

[qaterio]

BU j'ai cherché parmi les bouquins maths post-bac, pas trouvé. Et ma prof m'a dit, va demander à d'anciens élèves s'ils ont conservé d'anciens sujets (et ça j'ose pas trop le faire...)
Enfin bon, c'est pas bien grave, je vais continuer à faire des feuilles de TD, le truc c'est que ça finis par être compliqué d'en trouver, j'ai déjà fais toutes celles que l'on trouve sur les premières pages WEB. Merci quand même.

[Ben314]

Une vielle planche (2010) de T.D. sur les complexes

[qaterio]

Merci beaucoup, ça fait pas de mal de faire et refaire des exercices similaires.