Ecritures des coefficients de la matrice A * A^T

[Goliath]

Bonjour,

J'ai un petite question.
Je prend un matrice carré A de rang n avec comme coefficients de A : a_ij.
Si j'applique le produit matricielle à A avec sa transposée, noté A^T, alors les coefficients de cette matrice obtenue, que je note ici (A * A^T)_ij, valent-ils?

(A * A^T)_ij = ( Somme pour k allant de 1 à n de ) a_ik * a_jk

Merci d'avance!

[pascal16]

(A * A^T)_ij = ( Somme pour k allant de 1 à n de ) a_ik * a_jk
= ( Somme pour k allant de 1 à n de ) a_jk*a_ik

(A * A^T)_ij = (A * A^T)_ji

(A * A^T)_ii = ( Somme pour k allant de 1 à n de ) a_ik * a_ik
= ( Somme pour k allant de 1 à n de ) a_ik²

la diagonale est une somme de carrés (donc >=0 si on travaille dans R)
(A * A^T)_ij = (A * A^T)_ji : la matrice obtenue est symétrique

[Goliath]

J ai du mal exprimer ma question.

Je demandais si on a
(A * A^T)_ij = (Somme pour k de 1 à n ) a_ik * a_jk
Ou bien
(A * A^T)_ij = (Somme pour k de 1 à n ) a_ik * a_kj

Car pour un ami c est la deuxième qui est bonne alors que pour moi c est la première qui est exacte car pour moi la deuxième représente les coefficient de A*A.

[Ben314]

Salut,
Il suffit de revenir bêtement aux définition :
(1) Si A=(a_ij) ; B=(b_ij) et C=AB=(c_ij) (*) alors, pour tout i,j on a (par définition) c_ij=somme_k ( a_ik * b_kj )
( = Somme des produit terme à terme de la ligne i de A par la colonne j de B)
(2) Si B=A^T pour tout k,j on a (par définition) b_kj=a_jk

Bilan : A * A^T = (c_ij) avec c_ij = somme_k ( a_ik * a_jk ) [ = c_ji ]
Ce qui correspond en fait à faire le produit scalaire "usuel" entre la ligne i et la ligne j de la matrice A.

Et si on considérait "l'autre" produit, à savoir A^T * A = (d_ij), alors d_ij=somme_k ( a_ki * a_kj ) [ = d_ji ] qui correspond cette fois au produit scalaire usuel entre la colonne i et la colonne j de la matrice A (et c'est un peu plus souvent ce produit là qu'on utilise vu que c'est plus souvent les colonnes de A qui "ont du sens" que les lignes)

Et si on "regroupe" les deux trucs, on obtient un résultat pas super intuitif (et pas facile du tout à démontrer si on veut le faire "à la main) qui est que : si dans une matrice carrés, les colonnes correspondent aux coordonnées d'une base orthonormée, alors les lignes aussi correspondent aux coordonnées d'une base orthonormée.
Résultat qui provient du fait que, si A^T * A = Id, ça suffit à prouver que A est inversible d'inverse A^T et donc ça implique qu'on a aussi A * A^T = Id [et dans ce cas, la matrice est dite "orthogonale"]

(*) En prenant la convention la plus fréquente, à savoir que le premier indice désigne le numéro de la ligne et le deuxième celui de la colonne.

[Goliath]

Merci !