Rang d'une matrice à coefficients variable.

[Ben314]

Salut,
Soit un corps, et (donc )).
?

C'est évidement vrai pour , mais au delà ?

[Ben314]

C'est O.K. et ça s'obtient simplement par multilinéarité du déterminant :
Si on écrit la -ième colonne de la matrice sous la forme (où les sont des vecteurs colonnes constant et les des vecteurs colonnes à coefficients polynomiaux) puis qu'on développe le déterminant, ça donne le résultat car le fait que le rang de A(0) soit égal à n-k signifie que tout déterminant contenant strictement plus de n-k vecteurs va être nul.

Et ça marche pareil si on se place dans R ou C et qu'on suppose que les coeff. de A sont des fonctions (pas forcément polynomiales) dérivables (ou C-dérivables) en 0.

[aviateur]

Rebonjour
J'ai vu ton message sur l'autre post. Je suis d'accord avec toi qu'a priori les ne sont pas dérivables en zéros. Et on doit trouver des situations où c'est effectivement le cas.

Cependant, je conjecture que si la multiplicité algébrique de 0= la multiplicité géométrique de 0 (=k=n rang(M_0)) alors les sont dérivables en z=0. i.e


En particulier si 0 est une valeur propre simple, c'est le cas.
Par contre, sans cette hypothèse effectivement on peut trouver des exemples.

Pour les contre exemples, je crois avoir donné la piste et je le laisse en énigme.

Pour démontrer la dérivabilité c'est à coup sûr technique. On peut surement commencer par k=1. Puis voir seulement k=2 (qui représente de toute façon le cas général).

[aviateur]

Bonjour
Voici un exemple simple où n'est pas dérivable en 0.
On pose



0 est valeur propre de multiplicité 2 mais la dimension du noyau est 1.

Un calcul montre que les valeurs propres de M(z) sont

C'est clair que converge vers 0. Mais ne sont pas dérivables en 0.

[Ben314]

Si tu parle de la preuve de la dérivabilité de en dans le cas où est une racine simple du polynôme (*) alors c'est un exo. classique de L3 : l'application de dans l'ensemble des polynômes unitaires de degré (qui est un sous espace affine de l'e.v. ) est évidement de classe et on évalue facilement sa différentielle. Ensuite, on vérifie facilement que cette différentielle est bijective en tout point où les sont distincts et on termine en utilisant le th. d'inversion locale. On en déduit que les fonction "coeff. du polynôme" -> "racine du polynôme" sont tant qu'on reste sur un domaine où il n'y a pas de racines multiples.

Dans le cas où il y a des racines multiple, ton exemple montre que c'est bien moins simple, mais en fait on a des résultats (bien plus compliqués) en utilisant en particulier les séries de Puiseux (grosso modo, ça dit que dans ton cas, au voisinage de 0, les fonction et ne sont pas dérivable en temps que fonction de , mais elles le sont en temps que fonction de ).

(*) Dans le cas des matrices, le polynôme, c'est le polynôme caractéristique de la matrice, mais de toute façon, le bidule marche exactement de la même façon si ce qu'on se donne au départ, c'est pas une matrice à coeff. dépendant de , mais directement un polynôme à coeff. dépendant de (ou bien sur les coeff du polynômes sont supposés dérivables en )

[aviateur]

Bonjour
Je connais pas vraiment les séries de Puiseux mais on devine un peu ce qu'il se passe. Si j'ai bien compris
si 0 est d'ordre 3, on aurait du

Par contre ce que je veux dire c'est qu'il y a dérivabilité lorsque la dimension du noyau = l'ordre de multiplicité de 0.
Par exemple si on prend 0 de multiplicité 2 et dim Ker M_0= 2 aussi.
Alors je dans ce cas la matrice M(z) admet un "groupe" deux 2 valeurs propres et convergeant vers 0 mais de plus elles sont dérivables.
De plus, on peut montrer que et correspondent aux valeurs propres de l'opérateur où est l'opérateur de projection sur défini par
( étant un cercle qui entoure 0 et qui ne contient pas les autres valeurs propres de )
On vérifier cela sur un exemple:
Soit


après calculs on trouve que les valeurs propres de B sont

Bien sûr, calculer les valeurs propres de M(z) c'est pas une chose facile mais numériquement on calcule
valeurs propres de M(z) pour des valeurs de z petites
Cela donne
z=1/10 : (21.1021,1.51981,-0.623561)
z=1/100: (201.01,1.60852,-0.618564)
z=1/1000 : (2001.,1.61709,-0.618087)
z=1/100000 : (200001.,1.61802,-0.618035)

Pour les détails du calcul je le laisse en énigme.
Mais pour la démo il y a du boulot.

[Ben314]

Je connaissais pas ton truc dans la cas des valeur propres d'un opérateur (et on peut pas dire non plus que j'y connaisse grand chose sur les séries de Puiseux : je sais que ça existe et qu'on a "des résultats", mais ça s’arrête quasiment là).
Vu que moi, ce que je connais assez bien c'est plutôt le contexte , j'aimerais bien comprendre pourquoi on a un comportement "spécial" dans le cas où dim(Ker(M_0))=2 : Pour pouvoir définir tes fonctions , il n'est pas utile de connaître la matrice , il suffit bien sûr de connaître son polynôme caractéristique et je vois pas bien quelle "astuce" fait qu'on peut "lire" dans le fait que dim(Ker(M_0)=2
(on peut forcément le "lire" dans vu que ce polynôme possède la propriété qu'on peut suivre de façon C^1 ces racines quand elles "se coupent" alors que ce n'est pas la cas d'un polynôme quelconque)

Je sais pas si je suis clair, donc je vais poser la question sous forme "d'énigme" : on a une matrice dépendant (de façon C^infini y'a qu'à dire) d'un paramètre . Sauf que la matrice , on ne la connaît pas, mais par contre on a sous les yeux le polynôme caractéristique de . De plus, il s'avère que 0 est racine double de . Que faut il regarder dans pour savoir si 1 ou 2 ?

[aviateur]

On a déjà en partie de la réponse à ta question. La non dérivabilité en z=0, d'au moins une des 2 vp qui convergent vers 0 implique la dimension de
Par contre si on ne possède que l'expression de on perd toute l'information concernant les sous espaces caractéristiques associées aux valeurs propres et on ne peut rien dire comme le montre ces deux exemples ci-dessous

ex 1.

ex 2.

Dans le premier cas la dimension du noyau de M_0 est 2 et dans le deuxième cas la dimension du noyau est 1
les deux matrice ont le même polynôme caractéristique

[Ben314]

Effectivement, c'est assez bizarre : On a "un peu" d'information dans le sens où la non dérivabilité d'une des v.p. donne de l'info., mais pas assez d'info pour savoir de quoi il retourne exactement.

Dans un cas purement algébrique, c'est à dire avec un corps quelconque K et les coeff. de la matrice qui sont des polynômes formels en X (donc le polynôme caractéristique aussi), est-ce que tu pense qu'on a aussi ce "un peu d'info" quelque part dans le polynôme caractéristique (i.e. un critère impliquant que Ker(A0)=1) ?
Et si oui, où ?

[aviateur]

Le seul critère que je vois c'est le suivant (ici dans le cas 0 est racine double de ).
mais cela implique la connaissance de

[Ben314]

Soit un corps, et (donc )).

En fait le résultat du premier post donne un "bout de critère" :
Si et que le polynôme caractéristique de est

alors, en posant où est le corps des fractions rationnelles en alors on a donc divise dans ce qui signifie que divise ; divise ; . . . ; divise . (dans ton exemple, on a qui divise et qui divise )