Intégrale complexe

[Yezu]

Salut,

Je sors il n'y a pas longtemps de mon examen d'analyse complexe; et j'avais cette intégrale à calculer :

où C est le cercle unité.

L'intégrale serait évidente par application de la formule intégrale de Cauchy, mais ici, il y a un pôle de l'intégrant sur le cercle.
Je me demandais ainsi, si passer par la valeur principale de Cauchy était le meilleur moyen de contourner cette difficulté.

Personnellement, j'ai trouvé, par application de la partie principale de Cauchy :
.
Est-ce que c'est le bon résultat ?

Merci bien,

Cordialement,

[Ben314]

Salut,

Je me demandais ainsi, si passer par la valeur principale de Cauchy était le meilleur moyen de contourner cette difficulté.

Perso, cette histoire de "valeur principale", c'est un truc que j'ai jamais bien compris (pas les résultats qui en découle, mais l'intérêt d'une telle notion).
Tout ce que je peut te dire, c'est que la question n'est absolument pas de savoir si "de passer par la valeur principale est malin ou pas" : si tu prend cette intégrale au sens usuel des intégrales, alors il n'y a pas photo, elle est divergente et puis c'est tout. Par contre, si on considère cette intégrale au sens de la valeur principale, alors oui, tu peut lui attribuer une valeur (*)

(*) Mais quand à savoir si c'est futé ou pas d'écrire que "intégrale=la_valeur_en_question", c'est là que je suis pas sûr que ce soit futé vu que cette nouvelle définition ne possède pas certaines propriétés "usuelles" des intégrales. Par exemple ça ne vérifie évidement plus la relation de Chasles si on "coupe" l'intégrale à l'endroit où ce n'est pas intégrable.
Sur Wiki, ils disent bien que dans ce cas, ce n'est pas qu'on doit écrire, mais histoire d'éviter d'écrire des conneries...

P.S. Sur Wiki, on peut aussi lire concernant la valeur principale de l'intégrale de 1/x^3 entre -1 et 1 que :
Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.
Et je me demande un peu ce qu'il a comme "intuition" le type qui a écrit ça vu que la mienne, ce qu'elle me dicte surtout, c'est que c'est prendre un très très gros risque que de vouloir mordicus attribuer une valeur finie à cette intégrale là...

[Ben314]

Je viens de faire un bout de calcul au brouillon, et, si je me suis pas gouré, lorsque tu as une intégrale sur un lacet qui passe par un pole de la fonction, pour qu'elle soit convergente au sens de la valeur principale, il faut que ce pole soit un pole simple (*) et, dans ce cas, il ne compte "qu'à moitié" dans la valeur de l'intégrale, c'est à dire que dans la formule , pour ce pôle là, tu ne prend que que .

Donc ça donne bien ça :
Remarque : sinh est impaire donc -sinh(-1)=sinh(1)

(*) Ou qu'il n'y ait que des termes avec des exposants négatifs impairs dans le développement en série de Laurent au voisinage du point.

[Yezu]

Merci bien de toutes ces informations Ben !