Positivité de l'intégrale

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je dois montrer que :

J'ai montré par étude de fonction que sur :

Mais du coup on a d'après le cours :

Mais comment avoir l'inégalité stricte ?

[Lostounet]

Bonsoir,

Je dois montrer que :

J'ai montré par étude de fonction que sur :

Mais du coup on a d'après le cours :

Mais comment avoir l'inégalité stricte ?

Salut,

1) On peut essayer de minorer l'intégrale par une autre plus simple.
Par exemple pour tout t entre 0 et 1, exp(t) est plus grand que 1 donc peut-être écrire que:
(1-t)^n*exp(t) >= (1-t)^n puis intégrer.

2) Une autre idée mais j'aurais besoin d'une vérification: on montre qu'il existe un certain t0 dans [0;1[ en lequel la fonction (1-t)^n exp(t) ne s'annule pas et est donc strictement positive.

Or comme elle est continue au voisinage de ce point, on peut y centrer un ouvert en lequel elle ne s'annule pas. Pour tout segment de cet ouvert (*?) , on sait que la fonction admet un minimum strictement positif donc on minore l'intégrale par la longueur du segment *cette valeur minimale.


(*?) Et c'est là que j'ai un doute: on prend un ouvert ou un fermé directement? Ça marche comme je l'ai fait ?
Le segment doit être d'intérieur non vide aussi..

[aviateur]

bjr
A mon avis c'est le point 2) de @lostounet qu'il faut appliquer. Et c'est un résultat général: i.e si on a

H: f continue sur [a,b] tel que

alors
C:

En effet,
la continuité de f en , implique qu'il existe tel que


Posons . Evidemment
et sur [a,b], on a

D'où

[Rdvn]

Bonjour,
D'accord avec les réponses de Lostounet et Aviateur.
Si on souhaite produire une réponse élémentaire :
ATTENTION lire les < ci dessous comme "inférieur ou égal"
sur [0,1]
1<e^t et (1-t)^n est positif ou nul donc (1-t)^n<f(t)
Comparer les intégrales, celle de gauche se calcule facilement,
de plus on a ainsi 1/(n+1) comme minorant de l'intégrale
Cordialement
Rdvn

[aviateur]

Rebonjour
Il y un truc intéressant avec cet exercice. C'est que si on désigne par cette intégrale, c'est clair que l'intégrale est majorée par e et mieux que ça elle tend vers zéro.
si on demande à wolfram de calculer et puis si on lui demande une valeur approchée il affiche
!!! c'est étonnant et à méditer.

[mehdi-128]

La question d'après il demandent une valeur de n tel que soit une valeur approchée de à près justement

[mehdi-128]

bjr
A mon avis c'est le point 2) de @lostounet qu'il faut appliquer. Et c'est un résultat général: i.e si on a

H: f continue sur [a,b] tel que

alors
C:

En effet,
la continuité de f en , implique qu'il existe tel que


Posons . Evidemment
et sur [a,b], on a

D'où

Voilà merci j'avais oublié l'existence de ce théorème

[Rdvn]

Bonjour
pour répondre à aviateur et Mehdi
avec la convention déjà dite (ma réponse précédente) sur < ( à lire inférieur ou égal ),
sur [0,1] : 1<e^t<e,
on encadre comme j'avais déjà minoré, on trouve
1/(n+1)<intégrale<e/(n+1)
ce qui explique (théorème des gendarmes) que la suite définie par l'intégrale (dépendante de n) ait une limite nulle, et permet même de l'encadrer effectivement
Cdlt
Rdvn