DM (déterminer trois réels)

[lyse974ma]

Bonjour,

J'ai un DM à rendre et je bloque sur quelques questions, dont celle - ci :
"Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = (-x³ + 2x² - x +3) /( x² + 1)
déterminer trois réels a,b et c tels que :
f(x) = ax + b + c / x² + 1 "

Je ne sais pas comment m'y prendre pour trouver ces trois réels.
Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour, et bien la méthode la plus bête serait de réduire au même dénominateur l'expression proposée et de l'identifier à l'expression de départ.

[Ben314]

Salut,
C'est du "grand classique" (donc c'est pas con de se rappeler la méthode) :
Partant de ça : , tu multiplie des deux cotés par pour te ramener à une égalité entre deux polynômes.
Tu développe et ordonne celui de droite pour l'écrire puis tu utilise le fait que deux polynômes sont égaux sur R tout entier si et seulement si ils ont les mêmes coefficients (*).

(*) Résultat qui est soit démontré, soit admis au Lycée : je ne sais pas, mais en tout cas on l'utilise.
Souvent au Lycée on appelle ça "une identification" des coefficients, sauf qu'évidement, ça veut rien dire et que de raisonner comme ça, c'est un super "piège à con" vu que par exemple si tu as et que tu commence à dire que, "par identification", tu as a=1 ; b=-5 ; c=2 et d=3, ben.... tu as tout faux...

[lyse974ma]

Merci beaucoup !
Je pense avoir trouvé, j'ai a = -1, b=2 et c=3 tout simplement
En effet c'était assez bête haha, mais merci beaucoup !

Du coup j'aimerais bien avoir un p'tit coup de main pour cette question ci, si possible... :p
" Soit g la fonction définie sur R* par :
g(x) = 2x + 1 + (8/x²)
Dresser le tableau de variation de la fonction g. On rappelle que : a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)"

Je ne comprends pas pourquoi on donne a³ - b³...est-ce que ça voudrait dire que la dérivée devrait donner une fonction de ce type ?

[Ben314]

Il me semble que c'est plutôt a=-1 ; b=2 ; c=1

g(x) = 2x + 1 + (8/x²)
Dresser le tableau de variation de la fonction g. On rappelle que : a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)"
Je ne comprends pas pourquoi on donne a³ - b³...est-ce que ça voudrait dire que la dérivée devrait donner une fonction de ce type ?

Oui, effectivement : il est plus que probable que l'indication soit utile pour factoriser la dérivée (et donc déterminer son signe en fonction de x).

Et c'est souvent plus que pas con de faire, comme tu le fait, une "lecture intelligente" de l'énoncé, c'est à dire, par exemple, de commencer (avant de faire des calculs) par se demander à quoi va bien pouvoir servir l'indication donnée : Ici, si en dérivant, tu ne trouve pas du a³ - b³ quelque part, ça signifie sans doute que tu as fait une erreur de calcul ou que tu n'a pas écrit la dérivée sous la bonne forme.

[lyse974ma]

Oui c'est vrai, je me suis trompée, c est bien égal à 1
J'ai réussi à retrouver g(x) sous cette forme, c'est bon ! Je pense avoir réussi toutes les questions :p

Merci beaucoup !!