Série de Laurent et résidu en un pôle

[Yezu]

Bonjour à tous,

J'ai mon exam d'analyse complexe la semaine prochaine; et il y a absolument un truc que je dois piger pour me préserver du temps lors de l'exam (j'espère ne pas dire du n'importe quoi dans la suite du moins, je ne suis pas du tout calé sur les séries de Laurent).

Il s'agit de calcul de résidus pour des fonctions assez chiantes :
Soit qui présente des pôles sur (fonction auxiliaire dans la sommation de séries).

On considère alors :
.
Le dénominateur a des pôles en 4 points que l'on retrouve avec la formule quadratique ...

On cherche par exemple le résidu de cette grosse fonction en .

Ma démarche : établir la série de Laurent sur l'anneau . (On travaille sur cette anneau en faisant un petit schéma des quatres pôles du dénom, et en prenant le plus petit rayon relié à .

Je vous passe les détails mais en gros, en écrivant le dénom sous forme factorisée, en faisant un changement de variable, en utilisant la série géométrique pour chacun des facteurs, en développant cotan, en utilisant les produits, divisions de développement en série, on peut trouver le terme en .
C'est hyper long et le développement en cotan autour de ce point est juste pénible (voire impossible pour moi avec les produits/div successifs de D.S), et on s'emmêle à tous les coups.

Dans mes notes de cours, par des tours de passe-passe totalement inexpliquées (3 lignes de calcul ...) apparement, le résidu de la grosse bête en serait tout simplement le résidu de en ce point multiplié par

Après 4 pages de brouillons qui n'aboutissent strictement à rien, j'aimerais bien comprendre pourquoi le développement de cotan ne sert à rien ici, et il suffit de trouver le résidu du dénom (triviale à faire) ??? Pourquoi on peut se permettre de juste multiplier par la valeur de cotan au point ??

Merci de votre réponse,

Bonne journée

[Ben314]

Salut,
Dans un cas aussi simple que (qui n'a que des pôles simples), pour trouver le résidu en un zéro du polynôme qui est forcément un zéro simple du dénominateur et qui n'est pas un pôle du numérateur, ben il n'y a rien à calculer, ce résidu est simplement égal à et c'est tout.

Et la preuve tient en quelque lignes : si ta fonction est de la forme et que est un zéro de (c'est à dire tel que mais ) et que n'est pas un pôle de alors
ce qui prouve que la fonction est prolongeable par continuité en donc holomorphe dans un voisinage de (résultat de cours). De plus, on a avec ce qui signifie que et donc que le résidu de en est .

Bref, les résidus, les seuls cas où c'est c... à calculer, c'est ceux où on a un zéro d'ordre au moins deux du dénominateur ou bien si c'est aussi un pôle du numérateur comme par exemple le résidu en 1 de : Là le développement de Laurent va être de la forme
et la valeur "assez facile à calculer", ça va être , mais par contre le lui sera un peu plus difficile à calculer (il faudra faire des D.L.)

P.S. Et pour rien te cacher, je comprend pas bien comment tu as réussi à faire tout les exo. des planches de T.D. qu'on a du te donner sans même te rendre compte au final que dans le cas de pôles simple, le calcul des résidus était "quasi immédiat".

[Yezu]

Bonjour,

Merci beaucoup Ben !

J'ai presque envie de pleurer en revoyant mon brouillon avec les tentatives de développement de cotan et le triple produit de développements en série !

Concernant la fin de ton post, le prof nous conseillait toujours de faire les résidus avec la série de Laurent, car selon lui "peu de chances de se tromper" (on a prouvé des formules générales pour des résidus d'ordre n mais avec des dérivées n-1 ième; donc il déconseillait d'utiliser pour éviter de se casser la gueule). Les résidus en pôles simples sont triviales comme je l'ai indiqué mais je me suis tellement embrouillé ici que je me suis dit que les pôles étaient pas simples sans même chercher à le vérifier.
Pour être franc, j'avais remarqué que les pôles étaient simples, mais rien que de multiplier par cotan, ça m'a suggéré que les pôles seraient pas du tout simple (pour une raison qui me hante, car a bouffé mon Mercredi après-midi ^^)

P.S : pour avoir le max d'infos pour mon exam, en classe quand on a doute sur l'ordre d'un pôle, on détermine la série de Laurent du machin pour trouver la plus petite puissance négative. Aurais-tu certains automatismes à me conseiller ?

[Ben314]

A mon sens, le premier truc à faire (au moins de tête) quand tu as un pôle de , c'est de chercher un équivalent de pour proche de .
Très souvent, ça va vite vu que les équivalents des "fonctions élémentaires", tu es sensé les connaître et que tu est aussi sensé savoir quels sont les opération licites sur les équivalents (c'est pour ça que ça peut se faire de tête dans un certain nombre de cas comme ici).
Et si tu trouve que pour voisin de (*), c'est que c'est un pôle d'ordre et, si par chance , c'est fini : le résidu c'est . Par contre, si tu trouve , là, effectivement, il va faloir utiliser des D.L. pour trouver le résidu vu que ce n'est pas lui qui donne la "partie principale" (=l'équivalent) pour voisin de .

(*) Souvent, de tête, ce qu'on cherche, c'est surtout la valeur de pour voir si c'est ou pas.

Exemple : Ici, si alors pour voisin de et, si est une racine simple du polynôme alors pour voisin de .
Donc pour voisin de . On a donc et donc on a le résidu sous les yeux.

[Yezu]

Merci beaucoup encore Ben !