La norme ne semble servir que pour définir la topologie (donc la compacité et l'intérieur non vide).
Toutes les normes étant équivalentes en dimension finie, il n'y a pas lieu de s'en soucier outre mesure ; la compacité implique l'aspect borné, l'aspect symétrique implique qu'on peut ne se soucier que du quadrant des coordonnées positives et procéder par symétrie pour compléter.
Il en résulte que la frontière de la partie, dans ce quadrant haut droit, est une fonction
continue convexe dont le domaine de définition est
avec
(Définition pour la fonction convexe :
il me semble me souvenir que la continuité en découle, mais je n'ai pas fait l'effort de rechercher ce point
PS (ajout postérieur) il me semble que la définition de convexe, c'est le contraire, mais cela ne change rien à ce qui suit)
Si
tant mieux, sinon on "ferme" à droite par le segment vertical d'abscisse
. La figure obtenue, délimitée par la fonction f et par les axes (et éventuellement par le segment vertical) est convexe, c'est une conséquence de la convexité de f (de plus la réciproque est vraie si f n'est pas convexe, alors la figure obtenue ne l'est pas).
On prolonge
sur
par parité ; cela implique que
doit être décroissante (au sens large) sur
pour conserver la convexité sur le demi-plan supérieur.
On délimite sur le demi-plan inférieur par la fonction g définie par
sur
Le résultat (l'ensemble des points
vérifiant
et
est ainsi un fermé borné donc compact, d'intérieur non vide (car le centre est dans l'intérieur : pusque
et
l'ensemble contient un (petit) disque ouvert centré en O), convexe et symétrique par rapport à l'origine.
Exemples : un disque centré sur l'origine (fermé), un carré centré sur l'origine dont les côtés sont parallèles aux axes (fermé), un carré centré sur l'origine dont les sommets sont sur les axes, une ellipse à grand axe horizontal ou vertical centrée sur l'origine, un "blob centré sur l'origine" de pascal16 à condition que sa frontière sur le quadrant haut gauche soit une fonction continue décroissante convexe...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.