Équation de schrödinger

[qaterio]

Bonjour,

je dois faire avec mon groupe un exposé sur Schrödinger, et mon rôle est de présenter des résultats, pas de les démontrer (je suis en Bac+1). En utilisant l'opérateur hamiltonien et la configuration n=1,l=0,ml=0 (1s) pour la fonction d'onde Ψ, après résolution de l'équation différentielle (qui a une solution analytique pour le cas de l'hydrogène et des hydrogénoïdes), que trouve-t-on comme Ψ et E, et comment l'interpréter?
Je poste ici car j'ai extrêmement du mal à trouver cette solution sur internet (c'est un euphémisme puisque je n'ai aucun site qui ne traite du cas 1s, qui est sûrement le plus classique, mais ça veut pas dire qu'il est facile...).

Je vous remercie d'avance.

[LB2]

Bonjour,

tu trouveras peut-être ton bonheur ici :

https://portail.polytechnique.edu/physi ... 0quantique

il y a de quoi faire pour plusieurs semaines de boulot... C'est très costaud en L1 je trouve!

[qaterio]

@LB2,

Je te remercie, je vais zapper les vidéos d'amphi jusqu'à ce qu'ils parlent des équations de schrödinger.

PS: Oui c'est très costaud, c'est pour ça que je cherche pas à le démontrer (c'est pas une simple équa diff d'une trajectoire où l'on prend en compte les frottements ou bien de la résolution de l'équation horaire du mouvement d'un oscillateur harmonique (frottements négligés)...)

[qaterio]

Pfiouuuuuuuu, presque 5 heures de recherches, j'ai cru que je n'allais pas faire de pause ce soir. La densité
de probabilité radiale s'exprime par 4pi*l'intégrale de 0 à r de (r^2*(module de psi)^2dr), et j'ai même trouvé des représentations de ces distributions! (r c'est la distance entre le noyau et le rayon que l'on veut considérer pour la probabilité de présence, et psi la fonction d'onde).

[LB2]

La fonction d'onde psi est une fonction de l'espace et du temps, à valeurs complexes c'est bien ça?

[qaterio]

@LB2,
On ne considère que la partie réelle de cette fonction, ça simplifie les expression cosinus et sinus, en faîte comme on utilise les coordonnées sphériques, (r, têta, phi, qui donnent la longueur du point considéré à l'origine et sa 'longitude' et 'latitude' ce qui permet de donner exactement sa position, ET surtout, ça simplifie les calculs par rapport aux coordonnées cartésiennes)il y aura du cos et du sin dans les développement puisque on remplace y et z par des angles. Lorsqu'on connaît la fonction psi, on connaît tout du système (sa position, son énergie, sa vitesse), il faut juste utiliser l'opérateur adapter, l'opérateur hamiltonien permet de déterminer l'énergie et est un outil (comme tous les autres opérateurs) pour déterminer psi.
Je ne connaît pas comment on parvient à la résolution des systèmes à plus d'un électron autour du noyau, et donc je ne saurai te dire si psi ne dépend que de r, pour l'instant je ne me suis renseigné que sur les hydrogénoïdes, et psi ne possède que la variable r (le rayon).

[LB2]

ok mais j'ai des vagues souvenirs de méca Q et je crois qu'on ne peut pas connaître précisément simultanément position et vitesse (principe d'incertitude d'Heinseberg) . En revanche il est vrai que le hamiltonien est un outil simplificateur : par contre il faut connaître quelques notions d'algèbre linéaire pour comprendre les équations...

[qaterio]

En effet, plus on est précis sur la position, moins on le sera sur la vitesse .
Oui, dans le cas des hydrogénoïdes, psi est de la forme A*exp(-B*r), j'ai réussi à comprendre la démonstration jusqu'à la détermination de B, après pour A, il me manque quelques notions, notamment sur les jacobiens et le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphérique lors du calcul de l'intégrale. Et comme c'est sûrement un des cas les plus simples (au moins, il y a une solution analytique), je te laisse imaginer les cas à plusieurs électrons (j'ai regardé l'allure de la démonstration, et là il y a plus de deux notions à compléter pour que j'appréhende toute la démonstration).

[LB2]

si tu veux une référence sérieuse sur le sujet : http://www.phys.ens.fr/~sinatra/cours.pdf

qui a l'énorme avantage d'être accessible au niveau L1!

[Sake]

Il y a aussi un MOOC du MIT sur le sujet, dont l'approche pour les premiers chapitres est vraiment similaire au cours de Sinatra. Bonne ressource!