Récurrence

[Smiley]

Bonjour,
Je suis en Licence 1, en Fac de science et j'ai un exercice sur une implication à résoudre par récurrence mais je n'arrive pas a finir l'hérédité. Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait super, merci d'avance.
L'énoncé: Soit n appartient à l'ensemble des entiers naturels non nuls. Démontrer que l'implication P(n)=>P(n+1) est vraie pour : P(n) : 1 + 2 + ... + n = 1/8( 2n + 1 )^2

J'ai commencé à écrire :

On suppose P(n) vraie.
P(n+1) = 1 + 2 + ... + n + (n+1)
= P(n) + (n+1) = 1/8( 2n + 1 )^2 + (n+1)
mais je ne sais pas comment faire pour continuer l'hérédité afin de savoir si la proposition est vraie.

Merci d'avance pour toutes réponses.

[qaterio]

P(n)=n(n+1)/2 il me semble ici, non? ou alors comme P(n) est faux, il en réside que l'implication est vraie, quelque chose de faux implique toujours quelque chose de vraie.
En tout cas, si ton but est de montrer 1+2+..+n=n(n+1)/2, tu suppose que cette somme vaut ça, tu veut montrer que ça implique P(n+1), calcule-le au préalable. Puis tu te sers UNIQUEMENT de 1+2+...+n=n(n+1)/2 pour faire apparaître P(n+1).
Petite astuce: (1+2+...+n)+n+1=...

[Smiley]

Ici, P(n) = 1/8( 2n + 1 )^2

[qaterio]

Et bien alors, regarde tes tables de vérité pour les implications car 1+2+...+n ce n'est pas égale à 1/8(2n+1)^2, prend n=1 pour t'en convaincre, tu trouve 9/8. Comment en ajoutant des entiers naturels tu peux trouver un nombre qui n'est pas un entier naturel ?

[Smiley]

En effet, avec n = 1, ça ne fonctionne pas.
Je ne comprends pas, c'est notre énoncé qui est noté comme ça.

[qaterio]

Écoute ce que je te dis, c'est peut-être fais exprès, regarde tes tables de vérité, qu'est-ce qu'il se passe pour une implication de deux assertions P et Q (P=>Q) si P est faux, et tu en tires les conclusions qu'il faut pour répondre à la question.

[Smiley]

Je pense avoir compris. Du coup, je fais :

On veut montrer P(n) => P(n + 1)
Sachant P(n) = 1/8( 2n + 1 )^2
Initialisation : on pose n = 1 ; P(n) = 9/8
Par conséquent, P(n) est faux.
D'après l'implication logique, l'implication P(n) => P(n+1) est vraie lorsque P(n) est fausse.

[qaterio]

Oui, par contre, ne vas pas dire que la récurrence est établie, car il faut qu'elle soit initialisée, c'est juste l'implication qui est vraie (elle n'est pas héréditaire non plus). C'est juste que comme P(n) est faux, peu importe ce qu'il implique, c'est vrai.

[Smiley]

Ah oui, d'accord.
Merci beaucoup

[LB2]

Bonjour,

P(n) c'est une assertion (Vraie ou Faux) pas un nombre... Sinon on dit de grosses bêtises, c'est non homogène...
Cet exercice est un exemple pour souligner l'importance de l'initialisation. (Ici P(1) est fausse)
L'hérédité seule, vraie ici, ne suffit pas! Sinon, je peux montrer que tous les crayons d'une boite sont de la même couleur ou ce genre de choses...