Composition, injectivité...

[qaterio]

On veut montrer: (∀x∈E, f(g(x))=x) ⇒(f surjective et g injective).

Supposons f(g(x))=x et soient (x,x')∈E² tels que g(x)=g(x'), en composant par f on obtient, f(g(x))=f(g(x')), par notre hypothèse, f(g(x))=x et f(g(x'))=x' donc x=x', nous avons montré l'injectivité de g.
Soit (x,y)∈E², g est une application au départ de E et à valeur dans E, on peut donc poser y=g(x), en composant par f on obtient f(y)=f(g(x)), c'est-à-dire f(y)=x, nous avons en outre montré ∀x∈E, ∃y∈E, f(y)=x, c'est-à-dire f surjective.
Finalement, nous avons démontré que si pour tout élément x de E, f(g(x))=x, alors f est surjective et g est injective.

C'est mieux ?

[LB2]

Oui!

et Ben te propose l'exercice dans toute sa généralité : en fait peu importe que f(g(x))=x, ce qui compte c'est que f°g soit bijective.

[Ben314]

Soit (x,y)∈E², g est une application au départ de E et à valeur dans E, on peut donc poser y=g(x). . .

Oui, c'est très nettement mieux.
Le seul truc pas terrible (mais c'est pas une "énorme connerie") c'est le truc en rouge : Si tu commence ta phrase par "Soit (x,y)∈E²", ça veut dire qu'à ce moment là, tu choisi un x et un y (à priori quelconque) donc ça n'a pas de sens d'écrire ensuite que tu "pose y=g(x)".
Si tu veut ensuite "poser" y=g(x), ça signifie que la seule chose que tu choisi au début, c'est le x∈E.

Une phrase qui commence par un "Soit (x,y)∈E²", ce que tu pourrait éventuellement écrire ensuite, c'est par exemple un "si x=f(x) alors . . . ", mais ici, ça n'a pas bien de sens de rédiger comme ça.

[qaterio]

Je suis en train de le faire, c'est un exercice de ma feuille de TD en plus. Ca fait plaisir, je commence à comprendre comment ça fonctionne. En plus, si j'ai bien compris ce qu'a dit Ben, si on a un truc du style A ou B => C, il faut faire des disjonctions des cas (s'il est possible d'en faire) ?

[LB2]

pas forcément mais ça peut servir oui