Comment résoudre P(min(X,Y) inférieur ou égal à i) ?

[Kougelhopf]

Bonjour je bute sur un problème de probabilité.

X et Y sont indépendants
P(X=i) = P(Y=i) = 1/2^i



j'ai posé :



J'ai ensuite essayé de faire apparaitre des sommes mais je n'arrive à avoir aucune certitude quant aux résultats que je trouve.

Merci d'avance pour votre aide et vos conseils

[LB2]

Bonjour,

il y a plusieurs façons de procéder mais tu peux par exemple écrire en le justifiant que les évènements et OU sont les mêmes.

[pascal16]

Il y a un morceau en trop il me semble :

[Kougelhopf]

Merci pour vos réponses rapides.

Je ne comprends cependant pas très bien vos remarques.

Après avoir posé mon équation je me suis lancé dans l'expression de chaque terme par des sommes:



J'imagine que ça n'est pas la méthode la plus simple. Cependant, comment puis-je montrer que P(min(X,Y) i) = P(Xi) ?

[Kougelhopf]

J'ai eu une idée, arrêtez moi si je me trompe :
P(min(X,Y i) = 1-P(min(X,Y)>i) = 1 - P(X>i)P(Y>i)

est ce que ça vous semble être un bon début ?

Après je peux peut être utiliser les sommes non ?

[LB2]

Ton idée est correcte mais est vraie par indépendance de X et Y.

Tout ce que tu peux dire à priori c'est 1-P(min(X,Y)>i) = 1-P(X>i ET Y>i) et ensuite tu utilises l'indépendance.

Ensuite, ben faut juste calculer ce que c'est que P(X>i) et P(Y>i), c'est un petit calcul de somme géométrique

[Kougelhopf]

Oui merci c'est ce que j'ai fait. J'ai juste un petit doute sur ma suite géométrique cela dit

j'ai ça :

=