Unicité de la borne supérieure

[Youssri]

salut,
comment démontrer l'unicite du borne sup en utilisant les quantificateurs du definition.
M = sup(X) sig pour tout x dans X , x<=M et pour tout epsilon > 0 , il existe un element x dans X tel que x>M-epsilon.

[aviateur]

Bonjour
Tu dois (ou tu peux) faire un raisonnement par contradiction.
Tu supposes que A<B sont deux bornes supérieures de X.
Tu exprimes que A=sup(X) (déjà fait dans ta question).
C'est clair que tu auras mais c'est la deuxième condition qui va te donner une contradiction.
Je te laisse finir en principe c'est pas compliqué.

[Youssri]

est ce que cela est juste?



pourqoi lorsque on fait (2)-(1) ou on change le A<B par A>B on trouve quelque chose vrai

[LB2]

Non ce n'est pas juste car rien ne garantit que c'est le même élément x dans l'inégalité 1 et l'inégalité 2.

Tu peux démontrer le résultat suivant pour démontrer l'unicité :

Montrons qu'un A=sup(X) (avec ta définition) vérifie la définition équivalente suivante :
- A majore X
- Si M majore X, alors .

Cela entrainera facilement l'unicité.

Preuve :

A majore X c'est la première propriété dans ta définition.
Soit M un majorant quelconque de X, supposons par l'absurde A>M.
Soit (faire un dessin d'un axe réel pour bien comprendre le raisonnement)
D'après la deuxième propriété dans ta définition, soit tel que . Alors x>M : contradiction car M est un majorant de X.

L'unicité : Si A et B sont des sups de , ils sont des majorants de X, donc et donc

[Ben314]

Salut,
Bon, si je comprend bien,
- Jojo a x=50 Euro en poche, donc en particulier x 50 = A
- Il achète un truc dont le prix x' est soit 10 soit 15 euro selon le vendeur: 10 x' 15 = B
Alors, selon toi, le maximum de x-x' (i.e. x-x' ???), c'est A-B=50-15 : pour qu'il lui reste le plus possible après achat (=x-x'), il faut qu'il achète le truc le plus cher possible (=B)...
Tu es vraiment sûr de ton coup ?
Et à ton avis, à quel age on est sensé comprendre qu'un nombre donné, quand on lui retranche un nombre de plus en plus grand, le résultat devient de plus en plus petit ? (plus j'achète quelque chose de cher, moins il me reste à la fin)

Bref, tant que tu fera des maths. à coup de "recettes magiques" qu'on applique "parce qu'elle sont jolies" et sans chercher à comprendre ce que tu écrit, des absurdité pareilles, tu continuera à en écrire à longueur de page...

[pascal16]

ta conclusion, c'est en fait l'évidence du départ.

tu as A et B deux Sup

si A=B : fini
sinon, on a soit A<B, soit A>B

tu peux supposer A<B par symétrie.
sans doute poser epsilon = (B-A)/2 peut aboutir à une contradiction sur le fait que A soit un Sup