Précision

[mehdi-128]

Bonjour,

Je suis dans le calcul de somme partielle de séries numériques et on parle souvent de précision.
La série converge vers

J'ai :

J'aimerais calculer l'ordre de l'erreur pour cette somme :



Et aussi :




Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour
L'erreur vaut donc tu peux la majorer avec une intégrale de la fonction définie par f(x)=1/x^2. La convergence est lente.
Pour ta deuxième série, as tu calculé la somme? Ou bien alors tu as accéléré la convergence de la première suite de somme partielle?
J'aimerais savoir comment tu as fait pour trouver une autre série qui donne la même somme.

[mehdi-128]

Le corrigé dit que l'erreur pour la première somme (1/n^2) est de l'ordre de alors qu'il est de pour la deuxième.

Comment on calcule l'ordre de l'erreur

C'est un exercice corrigé dans mon livre difficile avec les sommes doubles et les factoriels.

On note S et T les sommes des séries respectives : et

On introduit
On montre que converge vers S.
Et on montre en séparant la somme double en 2 termes que :
La convergence est nettement plus rapide avec la 2ème série : pour l'erreur est de pour la première et pour la deuxième.

[pascal16]

quand les sommes infinies sont des sommes de Riemann, on arrive facilement à encadrer l'erreur car on connait bien les intégrales.

Dans tous les exos, il arrive parfois que cette somme soit limite de deux suites adjacente, et l'erreur est maximisée par la différence entre les deux suites (le fameux 1/n).

en voilà une , trouvée par Google avec les termes "vitesse de convergence" et 1/n²:

http://serge.mehl.free.fr/anx/cv_riemann.html

[mehdi-128]

Comment obtient t-on les précisions de et avec les valeurs numériques ?

[aviateur]

Comme je te l 'ai dit tu peux encadrer l'erreur par

[pascal16]

l'encadrement non symétrique sur la page en lien n'aide pas.

sol (facile) : vu que tu as le résultat et que la somme est croissante, un petit programme te donne le 'n' minimum exacte.


tu peux maximiser à la louche l'erreur qui est inférieure à l'intégrale de n-1 à l'infini de 1/x² = 1/(n-1), c'est direct mais moins précis.

[aviateur]

Pour le deuxième tu peux
écrire que que l'erreur est :


Donc
Ensuite tu choisis correctement k (k=12, 13 ou plus,, à déterminer avec une calculette)
après avoir majoré
comme dans le cas précédent.

[mehdi-128]

Je comprends pas ce que vous faites
Je pense que c'est beaucoup plus simple ce que je demande.

On a déjà les valeurs numériques des sommes :

Je demandais comment calculer l'ordre de grandeur de l'erreur entre 1,64493406685 et 1,5497 ?

Idem pour l'erreur entre 1,64493406685 et 1,6449340218 ?

[pascal16]

tu fais une soustraction

[mehdi-128]

Maintenant comment on obtient la précision ?

[pascal16]

veut dire que tu as la valeur avec une précision de 0,095.
n=10, 1/n = 0.1, c'est conforme aux attentes

[mehdi-128]

Comme je te l 'ai dit tu peux encadrer l'erreur par

Ce n'était pas dans le cadre de mon exercice mais c'est bon à savoir !

Dans mon exo, fallait juste calculer les sommes des 2 séries à l'aide d'un logiciel ou calculatrice jusqu'à 10 et 100 et comparer à et voir la vitesse de convergence en calculant l'écart par une soustraction.

[mehdi-128]

veut dire que tu as la valeur avec une précision de 0,095.
n=10, 1/n = 0.1, c'est conforme aux attentes

Merci j'ai compris

Il suffisait de faire une soustraction et d'arrondir : et

[pascal16]

oui.

[aviateur]

Bonjour Mehdi
C'est peut être pas ton exercice. Soit, mais ça je ne peux pas le deviner. Mais ceci étant dit, ma réponse n'est pas inutile. En effet, quand tu as une série convergente de somme
Dans la pratique, si on ne sait pas calculer S on cherche une valeur approchée come par exemple
Et le problème est de savoir quelle est la précision. Autrement dit on cherche
à majorer (sans connaître S)
Or et tout le travail consiste à majorer cette somme.
Remarque ici les valeurs absolues s'en vont
D'un point de vue pratique c'est plutôt cela qu'on demande et logiquement c'est cela qu'il faut savoir faire lorsqu'on travaille sur les séries.

[mehdi-128]

Ah d'accord on travaille sur le reste.