Matrice complexe

[protozik10012]

Bonjour,pouvez-vous m'aider dans une question:

Déterminer une base de H tq:

H={M € Mn(C)/transposée(M)=conjugué(M)}


Merci

[Ben314]

Salut,
L'exercice ne pose aucune difficulté à condition de commencer par se poser LA bonne question : ton H est-ce que c'est uniquement un R-espace vectoriel ou bien un C-espace vectoriel ? (et si on est dans le 2em cas, est-ce que tu doit en donner une base en temps que R-e.v. ou de C-e.v. ?)

Alors, à ton avis, R-e.v. ou C-e.v. ?

[FLBP]

Bonjour,
Soit
On commence par intéresser à la diagonale des matrices de :
Après un transposition, elle demeure la même, donc quels sont les complexes qui restent les mêmes que leur conjugué ?
Pour les parties triangulaires restantes des matrices de , elles subissent une symétrie axiale: d'axe - la diagonale - : alors quelles sont les paires et (symétrique dans la matrice) de complexes, qui respectent et ?
Et selon comment tu résouts le problème :
On finit par remarquer que la transposé et le conjugué sont des applications idempotentes quand on les applique un nombre pair de fois sur des matrices complexes:
et
Donc les matrices transposées-conjuguées de , sont aussi dans .

Edit: pour la base suis le message de Ben

[protozik10012]

Salut,
L'exercice ne pose aucune difficulté à condition de commencer par se poser LA bonne question : ton H est-ce que c'est uniquement un R-espace vectoriel ou bien un C-espace vectoriel ? (et si on est dans le 2em cas, est-ce que tu doit en donner une base en temps que R-e.v. ou de C-e.v. ?)

Alors, à ton avis, R-e.v. ou C-e.v. ?

Rebonjour Ben,je pense que H est vu comme un C-ev,mais j'ai un problème a représenter l'écriture {transposé(M)=conjugué(M)} dans la matrice

[protozik10012]

Bonjour,
Soit
On commence par intéresser à la diagonale des matrices de :
Après un transposition, elle demeure la même, donc quels sont les complexes qui restent les mêmes que leur conjugué ?
Pour les parties triangulaires restantes des matrices de , elles subissent une symétrie axiale: d'axe - la diagonale - : alors quelles sont les paires et (symétrique dans la matrice) de complexes, qui respectent et ?
Et selon comment tu résouts le problème :
On finit par remarquer que la transposé et le conjugué sont des applications idempotentes quand on les applique un nombre pair de fois sur des matrices complexes:
et
Donc les matrices transposées-conjuguées de , sont aussi dans .

Edit: pour la base suis le message de Ben

Bonjour FLBP,jessaierai d'assimiler ce que tu viens de

dire et je répondrais une fois que je trouve un

problème de compréhension dans ce que tu viens de dire .Mercii

[Ben314]

Rebonjour Ben,je pense que H est vu comme un C-ev. . .

PERDU...
Si tu prend , donc telle que alors alors que donc (sauf si ) ce qui prouve que n'est pas un -espace vectoriel (donc tu ne risque pas d'en trouver une base en temps que -e.v.).
Bref, tu n'a pas le choix, tu doit forcément travailler sur et ça signifie en particulier qu'il est plus que naturel d'écrire tes matrices sous la forme où et sont des matrices à coeff. réels.

[protozik10012]

Salut Ben

Pour toi,c'est quoi un ensemble vu comme C-ev?

Et c'est quoi un ensebmble vu comme R-ev?

[Ben314]

Si j'utilise l'expression "vu comme un ..." c'est du fait que, lorsque tu as un C-espace vectoriel E, alors c'est forcément aussi un R-espace vectoriel donc si on te demande la dimension (ou une base, ou autre chose) de E, il faut préciser si c'est en temps que C-espace vectoriel ou de R-espace vectoriel : pour prendre le cas le plus simple, C lui même est un C-espace vectoriel de dimension 1 avec (1) comme base (tout complexe s'écrit de façon unique, avec ) mais c'est aussi un R-espace vectoriel de dimension 2 avec (1;i) comme base (tout complexe s'écrit de façon unique, avec )
Bref, si E est un C-e.v. alors tu peut "le voir" comme un C-e.v. ou bien comme un R-e.v. et cette expression de "vu comme", ben elle a exactement le même sens qu'en Français "usuel".
Exemples :
- On peut voir un tournevis, vu comme un outil pour décapsuler les canettes de bières.
- Oui, c'est vrai, on peut le voir comme ça.

Sauf que, justement, ici, ce n'est pas le cas : ton H, ce n'est pas un C-e.v. donc il y a une et une seule "façon de le voir"