Intégrale de Riemann

[Pseuda]

Bonsoir,

A votre avis, concernant l'intégrale de Riemann, pourquoi éprouve-t-on le besoin de découper l'intervalle d'intégration en des subdivisions non forcément régulières, en choisissant une valeur en des points non forcément au milieu des segments, tout cela pour dire que la limite (l'intégrale) serait la même si on avait choisi un autre découpage et d'autres valeurs, puisque le but est finalement de calculer l'aire sous la courbe (qu'on pourrait calculer en se contentant de subdivisions régulières et de points au milieu des segments, sans avoir besoin de montrer que le résultat serait le même avec d'autres subdivisions et d'autres points) ?

Je ne sais pas si ma question est bien claire.

Merci d'avance pour votre réponse.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop ton truc :
Le théorème qui dit qu'en prenant une subdivision régulière et les points au milieu des subdivision, alors ça tend vers l'intégrale, il est bien sûr précédé de l'hypothèse "Si f est Riemann-intégrable alors . . .".
Et normalement, on voit rapidement des contre-exemple montrant que l'unique fait que ça converge sur les subdivision régulières avec les points au milieu, ben ça suffit pas pour être Riemann-intégrable.

Sinon, si on prend les subdivisions régulières, mais en prenant le max et le min sur chaque intervalle, là, oui, effectivement, c'est équivalent à faire la même chose sur des subdivisions quelconques dont le pas tend vers 0.
Sauf que, à mon avis, le gros intérêt d'accepter des subdivisions quelconques, c'est que lorsque tu met "bout à bout" des subdivision (de [a,b] et de [b,c]) quelconque (de pas <epsilon) alors le résultat est une subdivision de [a,c] alors qu'avec uniquement des subdivision régulières, ça marche pas (une subdivision régulière de [0,1] en sous-intervales suivie d'une subdivision régulière de [1,\sqrt{2}] en intervalle ne fera jamais une subdivision régulière de [0,racine(2)].
Bilan, ça serait archi chiant à démontrer que alors qu'avec des subdivision quelconques, c'est une évidence. (et à mon avis, il y a pas mal d'autre trucs qui serait bien plus gonflant à démontrer si on n'acceptait que les subdivisions régulières dans la définition)

Enfin, bref, la classe des subdivision quelconques et bien plus simple à manipuler que celle des subdivision régulières.

[pascal16]

Il ne faut pas confondre existence et meilleure méthode de calcul.

Riemann dit :
j'ai une fonction, je la majore par une fonction en escalier, je la minore par une fonction en escalier. Comme je sais calculer l'intégrale exacte des fonctions en escalier, j'ai des minorants et majorants de l'intégrale de ma fonction.
Si le plus grand des minorants et le plus petit des majorant sont égaux, c'est la valeur de l'intégrale de fonction au sens de Riemann, elle est Riemann-intégrable.
Si par contre il y a toujours un écart entre les deux, elle ne l'est pas au sens strict de Riemann.
(NB : plus tard on rajoutera qu'on ne change pas la valeur de l'intégrale en jouant sur un nombre dénombrable de valeurs de la fonction)


Méthode de calcul :
Si tu approches une intégrale par la méthode des rectangles comme pour Riemann, la convergence est moins bonne que par les trapèzes. Si tu fais un calcul par une méthode des rectangles centrés, la convergence est exactement celle de la méthode de trapèzes. Mais ça ne prouve en rien que la fonction soit Riemann-intégrable.

[pascal16]

Calcul et subdivision.

si tu as une fonction avec de faibles variations, une subdivision uniforme va très bien.
si tu as une fonction très plate à des endroits et avec de fortes variations ailleurs, une subdivision plus fine là où ses variations sont fortes est plus adaptée car elle devient plus précise pour un nombre de calculs donnés.

[LB2]

Je ne sais pas si cela répond à la question, mais a priori il n'est pas évident que le résultat donné par la somme de Riemman soit indépendant de la subdivision.

Je rapprocherais cela des problèmes du type "démonstration que pi=2" en "approchant" un segment de longueur 1 par des bouts de demi cercles de diamètres de plus en plus petits.

Pour les bonnes fonctions, ce qui est remarquable à mon avis, c'est que l'aire sous la courbe sur un segment est bien définie, ie qu'on trouve le même résultat quelle que soit la subdivision du segment

[pascal16]

soit une fonction définie sur [0;4] par
f(x) =1 sur [0;pi]
f(x)=0 sur ]pi;4]
est-il judicieux de découper [0;4] en n segments de même taille ?
Riemann s'est fixé comme départ les fonctions en escalier et a basé sa réflexion dessus. Il fallait un critère d'existence de l'intégrale (et une fois passée la série de démos avec le subdivisions, on ne s'en sert plus).

Le calcul par élément fini est aussi issue des escaliers, mais on cherche à approcher une valeur en supposant que la fonction est intégrable. Encore mieux, avec 1/x, c'est le calcul qui vient démontrer sa non intégrabilité.