Bonsoir,
Je trouve fausses les trois conséquences proposées ci-dessous, et extraites d’un QCM de mon livre de maths "enseignement de spécialité".
Si (x, y) est solution de l’équation 3x -5y = 2, alors :
a : x est de la forme 4 +3k, k entier relatif;
b : x est de la forme 4 +5k, k entier relatif;
c : x est congru à 0 modulo 5.
Le corrigé affirme c.
Pour moi, si (x, y) est solution de l’équation 3x -5y = 2, (-1, -1) étant une solution, on dispose donc du système :
3x -5y = 2
-3 +5 = 2.
Après soustraction membre à membre on obtient :
3(x +1) +5(-y -1) = 0
qui est équivalent à :
3(x +1) = 5(y +1). (i)
On a PGCD (3, 5) = 1, donc 3 et 5 sont premiers entre eux.
Par conséquent 5 divise x +1, d’après le théorème de Gauss.
On trouve donc :
x = 5k -1
et en remplacant x par 5k -1 dans (i), y = 3k -1.
en substituant ces deux expressions dans 3x -5y = 2, on trouve :
3(5k -1) -5(3k -1) = 15k -3 -15k +5 = 2.
J’en déduirais que le livre comporte au moins une erreur, mais comme la divisibilité et moi, on vient à peine de faire connaissance…
Seriez-vous d’accord avec le livre ?