Intersection d'hyperplans

[protozik10012]

salut, j'étais entrain de faire un exercice d'algèbre linéaire puis je me suis bloqué dans quelques pistes.
Voici l'exercice:

E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n ∈ [[2, +∞[[).
Q1. Montrer que si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E : dim(F ∩ G) >= dim F + dim G − n.
Q2. D´eterminer la dimension de l’intersection de deux hyperplans distincts de E.
Q3. Soient H1, H2, ..., Hr r hyperplans de E. Montrer que dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hr) >= n − r.
Q4. Montrer par récurrence que si p appartient `a [[1, n]] et si F est un sous-espace vectoriel de dimension n − p alors F est l’intersection de p hyperplans de E.

**Dans Q3 en faisant la récurrence sur k dans l'intervalle [[1,r-1]], je trouvais un problème pour comprendre cet inégalité , dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk+1) >= dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk) + dim Hk+1 − n

**Pour Q4,j'ai pas eu une idée claire.

Pouvez-vous m'aidez svp? MERCI!

[pascal16]

les hyperplans vectoriels ont en géométrie classiques 3D des plans passant par l'origine.

en 3D
l'intersection de deux plans (dim n-1) est dans le cas général un droite (on perd une dim : n-2) , mais, s'ils sont confondus, on garde la même dimension.

pour l'intersection de k+1 hyperplans (dim n-1)
si le k+1 ième contient l’intersection des k premiers, la dimension de l'intersection ne bouge pas.
si le k+1ième ne contient pas l'intersection, on ne peut enlever au max qu'une seule dimension
c'est en fait le résultat de Q1.

le truc étant de bien gérer les inégalités

[aviateur]

Bonjour
Avant de faire Q3 il vaut mieux bien faire Q1 qui est faux.

[protozik10012]

Oui oui je l'ai réctifié....dim(F ∩ G) >= dim F + dim G − n.

[aviateur]

Ok, ça change tout.
Pour la question Q3 je ne comprend s pas ton problème.
Je pense qu'il faut encore utilisé la question 1 avec F est un hyperplan.
Alors la dimension de F inter G est >= dim(G)-1.
C'est à dire que tu perds au plus une dimension quand tu fais l'intersection avec un hyperplan.
Je pense que la récurrence doit bien se passer si tu utilises cela.

[LB2]

L'idée étant que les p hyperplans sont l'équation "cartésienne" = les p "équations" de F. Exemple dans R^3, une droite peut s'écrire comme l'intersection de deux plans.

[protozik10012]

Donc pour la récurrence dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk+1) >= dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk) + dim Hk+1 − n

On a pris F=H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk et G=Hk+1..


Et pour la question Q4,vous-avez une idée à me proposez?

[Pseuda]

Bonjour,

Pour la Q4, je prendrais une base (e1,e2, ........., en) de E.
p=0 : intersection d'aucun hyperplan : dim =n
p=1 : intersection d'un hyperplan généré par (e1,...., e(n-1)) : dim =n-1
p=2 : intersection de 2 hyperplans : le précédent avec Vect(e2, ....., en) : dim = n-2
etc...
le tout est de trouver une récurrence qui se tienne bien.

[aviateur]

Rebonjour
Si alors soit G un supplémentaire qcq de F (i.e )
Soit une base de G et le sous-espace de G de dimension p-1 dont une base est donnée par auquel on a retiré
Alors sont p hyperplans distincts 2 à 2 dont l'intersection est F.

[Pseuda]

Bonjour @aviateur,

Peut-être que protozik10012 voulait juste une aide, pas la solution toute faite.

[aviateur]

Je n'ai pas donné la solution toute faite puisque je n'ai pas fait de récurrence!
Au contraire, je l'aide un peu pour le rediriger par rapport à ton indication qui, à mon avis, risque plus de le perturber que de le mettre sur la bonne voie.
En effet tu prends une base de E..... et comment tu fais avec cette base pour ton espace F de dimension n-p (où l'on aura admis la propriété pour un espace de dimension n-(p-1) !!!???

[Pseuda]

En effet, elle n'est pas toute faite, j'ai lu un peu vite. Mon indication avait pour seul but de montrer qu'il fallait utiliser les bases. Et qu'il restait beaucoup à arranger ...

[aviateur]

D'accord. sinon je n'ai pas assez réfléchi mais faire une récurrence est-ce que c'est approprié?

[protozik10012]

Bonjour à vous,j'essaierai de résoudre cette question une autre fois avec ton indication..et je vous répondrez


Mercii pour votre aide