Exercice sur les suites (Tle S)

[Sarah26]

Bonjour,

Je suis en classe de Terminale S et je ne comprends pas la correction d'un exercice sur les suites.
Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un^2-Un+1
Démontrez par récurrence, que pour tout entier naturel n, 1/2 ≤ Un < 1.

Pour moi, l'initialisation est ok, seulement voilà pour l'hérédité j'ai effectué ceci :

Supposons que la proposition (Pk) est vraie pour un entier naturel : 1/2 ≤ Uk < 1. Montrons que (Pk+1) est vraie : 1/2 ≤ Uk+1 < 1


1/2 ≤ Uk < 1
équivalent à 1/4 ≤ Uk^2 < 1
équivalent à -1/4 ≤ Uk^2 - Uk < 0 (mon professeur me dit que c'est faux)
équivalent à 3/4 ≤ Uk^2-Uk+1 < 1

Or Uk^2-Uk +1 = Uk+1 donc 3/4 ≤ Uk+1 < 1

Finalement 3/4<1/2 ≤ Uk+1 < 1

Donc P(k+1) est vraie.

Mon professeur nous a alors expliqué qu'il fallait passer par l'étude du sens de variation de f définie par f(Un) = Un^2-Un+1. J'ai très bien compris son explication en soi, ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi il faut passer par là. En effet, il m'a expliqué que je ne pouvais pas soustraire par 1/4 par 1/2 ni soustraire 1 par 1. J'essaye vraiment de comprendre pourquoi mon raisonnement est faux étant donné que le résultat trouvé à la fin est bon.

La conclusion est ok aussi.


Merci pour vos réponses.


Sarah

[Lostounet]

Bonjour,

Je suis en classe de Terminale S et je ne comprends pas la correction d'un exercice sur les suites.
Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un^2-Un+1
Démontrez par récurrence, que pour tout entier naturel n, 1/2 ≤ Un < 1.

Pour moi, l'initialisation est ok, seulement voilà pour l'hérédité j'ai effectué ceci :

Supposons que la proposition (Pk) est vraie pour un entier naturel : 1/2 ≤ Uk < 1. Montrons que (Pk+1) est vraie : 1/2 ≤ Uk+1 < 1


1/2 ≤ Uk < 1
équivalent à 1/4 ≤ Uk^2 < 1
équivalent à -1/4 ≤ Uk^2 - Uk < 0 (mon professeur me dit que c'est faux)
équivalent à 3/4 ≤ Uk^2-Uk+1 < 1

Or Uk^2-Uk +1 = Uk+1 donc 3/4 ≤ Uk+1 < 1

Finalement 3/4<1/2 ≤ Uk+1 < 1

Donc P(k+1) est vraie.

Mon professeur nous a alors expliqué qu'il fallait passer par l'étude du sens de variation de f définie par f(Un) = Un^2-Un+1. J'ai très bien compris son explication en soi, ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi il faut passer par là. En effet, il m'a expliqué que je ne pouvais pas soustraire par 1/4 par 1/2 ni soustraire 1 par 1. J'essaye vraiment de comprendre pourquoi mon raisonnement est faux étant donné que le résultat trouvé à la fin est bon.

La conclusion est ok aussi.


Merci pour vos réponses.


Sarah

Salut,
Effectivement tu as fait une erreur de raisonnement: si on a deux égalités, on a le droit de soustraire membre à membre les deux égalités.
Mais cela ne marche pas du tout pour des inéquations.

Par exemple, on sait que 2 < 5 < 8
et que 8<9<10

Est-il vrai que: 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8 ?

[Sarah26]

Bonjour,

Je suis en classe de Terminale S et je ne comprends pas la correction d'un exercice sur les suites.
Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un^2-Un+1
Démontrez par récurrence, que pour tout entier naturel n, 1/2 ≤ Un < 1.

Pour moi, l'initialisation est ok, seulement voilà pour l'hérédité j'ai effectué ceci :

Supposons que la proposition (Pk) est vraie pour un entier naturel : 1/2 ≤ Uk < 1. Montrons que (Pk+1) est vraie : 1/2 ≤ Uk+1 < 1


1/2 ≤ Uk < 1
équivalent à 1/4 ≤ Uk^2 < 1
équivalent à -1/4 ≤ Uk^2 - Uk < 0 (mon professeur me dit que c'est faux)
équivalent à 3/4 ≤ Uk^2-Uk+1 < 1

Or Uk^2-Uk +1 = Uk+1 donc 3/4 ≤ Uk+1 < 1

Finalement 3/4<1/2 ≤ Uk+1 < 1

Donc P(k+1) est vraie.

Mon professeur nous a alors expliqué qu'il fallait passer par l'étude du sens de variation de f définie par f(Un) = Un^2-Un+1. J'ai très bien compris son explication en soi, ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi il faut passer par là. En effet, il m'a expliqué que je ne pouvais pas soustraire par 1/4 par 1/2 ni soustraire 1 par 1. J'essaye vraiment de comprendre pourquoi mon raisonnement est faux étant donné que le résultat trouvé à la fin est bon.

La conclusion est ok aussi.


Merci pour vos réponses.


Sarah

Salut,
Effectivement tu as fait une erreur de raisonnement: si on a deux égalités, on a le droit de soustraire membre à membre les deux égalités.
Mais cela ne marche pas du tout pour des inéquations.

Par exemple, on sait que 2 < 5 < 8
et que 8<9<10

Est-il vrai que: 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8 ?

En effet écrire 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8 est une erreur mais je crois que je ne comprends toujours pas.

[Lostounet]

En effet écrire 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8 est une erreur mais je crois que je ne comprends toujours pas.

Ton raisonnement stipule que:

D'une part on a: 1/2 ≤ Uk < 1
Et d'autre part on a: 1/4 ≤ Uk^2 < 1

Donc on doit avoir: 1/4 - 1/2 < Uk^2 - Uk < 1 - 1

Et ça c'est faux, car on n'a pas le droit de soustraire les inégalités de cette manière.

C'est comme le raisonnement suivant:
D'une part on a: 2 < 5 < 8
D'autre part on a: 8 < 9 < 10

Donc on doit avoir: 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8

Ce raisonnement (faux) est analogue à ton raisonnement.

[Sarah26]

En effet écrire 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8 est une erreur mais je crois que je ne comprends toujours pas.

Ton raisonnement stipule que:

D'une part on a: 1/2 ≤ Uk < 1
Et d'autre part on a: 1/4 ≤ Uk^2 < 1

Donc on doit avoir: 1/4 - 1/2 < Uk^2 - Uk < 1 - 1

Et ça c'est faux, car on n'a pas le droit de soustraire les inégalités de cette manière.

C'est comme le raisonnement suivant:
D'une part on a: 2 < 5 < 8
D'autre part on a: 8 < 9 < 10

Donc on doit avoir: 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8

Ce raisonnement (faux) est analogue à ton raisonnement.

Je vois ou vous voulez en venir. Ce qui me bloque c'est que dans la correction, mon professeur a écrit ceci :

1/4 -Uk ≤ Uk^2-Uk < 1-Uk

Or je ne comprends pas comment ceci peut nous donner l'encadrement de Uk+1

[Lostounet]

Ceci est bien différent. Il n'a pas soustrait deux inéquations entre elles.

Ici il a soustrait le même nombre (Uk) aux trois membres ce qui est correct. Par contre cela ne donne pas (encore?) un encadrement de Uk+1

[Sarah26]

Ceci est bien différent. Il n'a pas soustrait deux inéquations entre elles.

Ici il a soustrait le même nombre (Uk) aux trois membres ce qui est correct. Par contre cela ne donne pas (encore?) un encadrement de Uk+1

D'accord, mais est il nécessaire d'écrire ceci pour trouver l'encadrement ? Je ne comprends pas comment ceci pourrais nous amener à le trouver.

Merci beaucoup pour vos réponses

[Sarah26]

Ceci est bien différent. Il n'a pas soustrait deux inéquations entre elles.

Ici il a soustrait le même nombre (Uk) aux trois membres ce qui est correct. Par contre cela ne donne pas (encore?) un encadrement de Uk+1

D'accord, mais est il nécessaire d'écrire ceci pour trouver l'encadrement ? Je ne comprends pas comment ceci pourrais nous amener à le trouver.

Merci beaucoup pour vos réponses

[Lostounet]

Ceci est bien différent. Il n'a pas soustrait deux inéquations entre elles.

Ici il a soustrait le même nombre (Uk) aux trois membres ce qui est correct. Par contre cela ne donne pas (encore?) un encadrement de Uk+1

D'accord, mais est il nécessaire d'écrire ceci pour trouver l'encadrement ? Je ne comprends pas comment ceci pourrais nous amener à le trouver.

Merci beaucoup pour vos réponses

En fait rien n'est "nécessaire" du moment qu'on ne fait pas d'erreurs dans le raisonnement. On pourrait poursuivre ce raisonnement mais c'est assez laborieux ! On pourrait faire beaucoup plus simple.

Par exemple, si on veut essayer de poursuivre sur cette méthode:
1/2 < Uk < 1
Donc, -1/2 > -Uk > -1 en ayant multiplié les trois membres par (-1)
De plus on sait que 1/4 < Uk^2 < 1 (car les nombres positifs 1/2, Uk et 1, sont rangés dans le même ordre que leurs carrés)

Soustrayons Uk aux trois membres de l'inéquation 1/4 < Uk^2 < 1 :
1/4 - Uk < Uk^2 - Uk < 1 - Uk

Or on sait que -1<-Uk < -1/2
Donc: -1 + 1/4 < -Uk + 1/4 < -1/2 + 1/4 (j'ai ajouté 1/4 aux trois membres)
Et aussi: 0 < 1 - Uk < 1/2 (j'ai ajouté 1 aux trois membres).

De ces deux inégalités, nous déduisons que -3/4 < -Uk + 1/4
et que 1 - Uk < 1/2

Donc en revenant à:
1/4 - Uk < Uk^2 - Uk < 1 - Uk

On déduit -3/4 < -Uk + 1/4 < Uk^2 - Uk < 1 - Uk < 1/2

Donc -3/4 < Uk^2 - Uk < 1/2

En ajoutant 1 aux trois membres:

1/4 < Uk^2 - Uk + 1 < 1/2 + 1

1/4 < Uk+1 < 3/2

Cet encadrement n'est pas faux mais il n'est pas assez précis et ne permet pas de conclure !
Eh oui, tout ça pour rien.

Une autre méthode beaucoup plus simple:
Comme: et que
Donc en multipliant par (-1) la seconde inégalité, on a:

On a donc les deux inégalités et .
En ajoutant les deux inégalités membre à membre (oui ça on a le droit ! mais pas soustraire)

Alors:




Là encore, certes ce n'est pas faux mais pas assez précis pour conclure ! (On veut montrer que Uk+1 est non seulement entre 1/4 et 3/2 mais plus précisément entre 1/2 et 1).


La morale de l'histoire: il faut apprendre une nouvelle méthode, qui passe par l'étude de fonctions ! La manipulation des inégalités "petit à petit" n'est pas une méthode assez puissante, elle est trop contraignante (tu en as eu l'expérience avec le fait qu'on ne peut pas faire toutes les opérations, des fois on fait des erreurs à cause de ça) et en plus elle engendre une perte de précision.

On pose qui est croissante sur [1/2 ; 1] et qui passe de f(1/2) = 3/4
et f(1) = 1.

Cela veut dire que si U_k est tel que 1/2 < U_k < 1
Alors f(1/2) < f(U_k) < f(1) (la fonction f est croissante sur [1/2; 1] donc elle conserve l'ordre des inégalités.

Donc: 3/4 < U_(k+1) < 1 alors on a bien 1/2<U(k+1) < 1

[Pseuda]

En effet écrire 8 - 2 < 9 - 5 < 10 - 8 est une erreur mais je crois que je ne comprends toujours pas.

Bonsoir,

8<9<10 et 2<5<8 donne -8<-5<-2 donc 8-8<9-5<10-2, soit 0<4<8.

[Sarah26]

Ceci est bien différent. Il n'a pas soustrait deux inéquations entre elles.

Ici il a soustrait le même nombre (Uk) aux trois membres ce qui est correct. Par contre cela ne donne pas (encore?) un encadrement de Uk+1

D'accord, mais est il nécessaire d'écrire ceci pour trouver l'encadrement ? Je ne comprends pas comment ceci pourrais nous amener à le trouver.

Merci beaucoup pour vos réponses

En fait rien n'est "nécessaire" du moment qu'on ne fait pas d'erreurs dans le raisonnement. On pourrait poursuivre ce raisonnement mais c'est assez laborieux ! On pourrait faire beaucoup plus simple.

Par exemple, si on veut essayer de poursuivre sur cette méthode:
1/2 < Uk < 1
Donc, -1/2 > -Uk > -1 en ayant multiplié les trois membres par (-1)
De plus on sait que 1/4 < Uk^2 < 1 (car les nombres positifs 1/2, Uk et 1, sont rangés dans le même ordre que leurs carrés)

Soustrayons Uk aux trois membres de l'inéquation 1/4 < Uk^2 < 1 :
1/4 - Uk < Uk^2 - Uk < 1 - Uk

Or on sait que -1<-Uk < -1/2
Donc: -1 + 1/4 < -Uk + 1/4 < -1/2 + 1/4 (j'ai ajouté 1/4 aux trois membres)
Et aussi: 0 < 1 - Uk < 1/2 (j'ai ajouté 1 aux trois membres).

De ces deux inégalités, nous déduisons que -3/4 < -Uk + 1/4
et que 1 - Uk < 1/2

Donc en revenant à:
1/4 - Uk < Uk^2 - Uk < 1 - Uk

On déduit -3/4 < -Uk + 1/4 < Uk^2 - Uk < 1 - Uk < 1/2

Donc -3/4 < Uk^2 - Uk < 1/2

En ajoutant 1 aux trois membres:

1/4 < Uk^2 - Uk + 1 < 1/2 + 1

1/4 < Uk+1 < 3/2

Cet encadrement n'est pas faux mais il n'est pas assez précis et ne permet pas de conclure !
Eh oui, tout ça pour rien.

Une autre méthode beaucoup plus simple:
Comme: et que
Donc en multipliant par (-1) la seconde inégalité, on a:

On a donc les deux inégalités et .
En ajoutant les deux inégalités membre à membre (oui ça on a le droit ! mais pas soustraire)

Alors:




Là encore, certes ce n'est pas faux mais pas assez précis pour conclure ! (On veut montrer que Uk+1 est non seulement entre 1/4 et 3/2 mais plus précisément entre 1/2 et 1).


La morale de l'histoire: il faut apprendre une nouvelle méthode, qui passe par l'étude de fonctions ! La manipulation des inégalités "petit à petit" n'est pas une méthode assez puissante, elle est trop contraignante (tu en as eu l'expérience avec le fait qu'on ne peut pas faire toutes les opérations, des fois on fait des erreurs à cause de ça) et en plus elle engendre une perte de précision.

On pose qui est croissante sur [1/2 ; 1] et qui passe de f(1/2) = 3/4
et f(1) = 1.

Cela veut dire que si U_k est tel que 1/2 < U_k < 1
Alors f(1/2) < f(U_k) < f(1) (la fonction f est croissante sur [1/2; 1] donc elle conserve l'ordre des inégalités.

Donc: 3/4 < U_(k+1) < 1 alors on a bien 1/2<U(k+1) < 1

Re-Bonjour,

Merci d'avoir pris du temps pour cette explication, je pense que c'est désormais plus clair. Je ne referai plus la même erreur désormais

Sarah