Défis

[DIPPER]

voici un problème ou je bloque et ou je n'ai pas la solution, je vous laisse essayer :
Au tableau il est écrit plus de 40 nombres entiers, mais moins de 48 nombres
entiers. La moyenne des nombres écrits est égale à −3, la moyenne de tous les
nombres positifs est 4, la moyenne des nombres négatifs est −8.
a) Combien de nombres a-t-on écrit au tableau ?
b) Le nombre des nombres positifs est supérieur au nombre des nombres négatifs
ou l’inverse ?
c) Combien de nombres positifs au plus on peut trouver sur ce tableau ?

[Ben314]

Salut,
Si [resp. , resp ] est le nombre d'entiers positifs [resp. négatif, resp. nuls] et [resp. ] la somme des positifs [resp. négatifs] alors :
Donc c'est à dire ou encore .
Donc divise et, comme il est premier avec , c'est qu'il divise .
On a donc pour un certain entier et on en déduit que .
On a alors qui est un multiple de or le seul multiple de (strictement) entre et est .
Donc , c'est à dire avec pour que tout soit positif.

[nodgim]

J'aurais donné une autre réponse parce que j'aurais mis les 0 en commun dans les nombres positifs et les nombres négatifs.
Il n'y a pas plusieurs écoles pour ce classement ?

[Ben314]

Il n'y a pas plusieurs écoles pour ce classement ?

Si, et d'habitude je fait plutôt parti de l'école Bourbakiste (positif = positif ou nul...). Mais quand c'est un "énoncé en Français", j'ai toujours des doutes vu que je me suis souvent planté d'interprétations dans des trucs style FFJM ou olympiades.
De toute façon ça change pas grand chose à la démarche, mais ça doit changer les résultats.

[chan79]

salut
Une possibilité, en admettant que 0 est à la fois positif et négatif:
-24 est écrit 11 fois
12 est écrit 11 fois
0 est écrit 22 fois
Trouver le nombre de solutions (nombre de listes d'entiers possibles) risquerait de prendre du temps...

[Ben314]

Ca change vraiment pas grand chose si on considère zéro comme à la fois positif et négatif :
Si c'est le nombre de positifs ou nuls, le nombre de négatifs ou nuls, et le nombre de nuls alors les donnés "de départ" sont :
qui consiste simplement (par rapport à l'autre version) à remplacer par . Ensuite, les calculs sont les mêmes et au final on trouve et la seule différence, c'est que cette fois, les "contraintes naturelles", c'est non seulement , mais aussi et ce qui donne c'est à dire 13 solutions (*)

Par exemple, ta solution correspond à qui donne (donc 33-22=11 termes >0 de somme 132, donc par exemple tous égaux à 12) et (donc 33-22=11 termes <0 de somme -264, donc par exemple tous égaux à -24)

(*) Et pas 14 comme je l'ai mis dans la 1ère version de ce post.

[nodgim]

Pas 14 solutions, mais seulement 13 je crois ( k = 3 ne convient pas, z = 3k -11 ).

[Ben314]

C'est pas faux....
Je rectifie.