Analyse complexe et points de branchement

[Yezu]

Bonjour à tous,

Alors dans mon cours d'Analyse complexe (à orientation plus physique que mathématique ^^); on traite de la notion de points de branchement.

Très flou pour moi pour le moment : j'ai fait quelques recherches sur le net, mais à part wiki; il y a très peu de docs je trouve ... Globalement ce que j'ai saisis de mes notes de cours :
soit avec .
peut être multiévaluée (comme racine n-ème par exemple) et donc par ajout de à l'argument principal de , on peut avoir plusieurs valeurs de .
Ce que j'ai à peu près saisi du point de branchement : (excusez moi si je l'exprime très mal ^^) en gros ce serait le point autour duquel tu fais des "rotations" de sur et la fonction est multiévaluée avec ces rotations. (l'allusion avec les "étages" sur wiki).

Et puis après viennent les interrogations :
1/ la définition exact de wiki : a est un point de branchement lorsque l'image par f d'au moins un lacet entourant a est une courbe non fermée. Selon moi, elle n'a aucun rapport avec ce que j'ai compris du point de branchement et dans mes notes .. pourriez-vous, svp, m'expliquer où je me trompe ?

2/ déterminer un point de branchement ...
alors, dans tous les exemples de wiki, ils connaissent déjà le point de branchement et montre que c'est effectivement le cas en montrant qu'une rotation de sur la phase de entraine une multiévaluation de la fonction. Comment justement trouver ces points ?

3/ dans mes notes, on traite la fonction de ;
.
On prouve que 0 est un point de branchement mais ensuite on fait cette mention : "si on fait une rotation de autour d'un autre point du plan complexe situé à une distance finie de l'origine; la phase de ne change pas, et f n'est donc pas multiévaluée".
Je ne comprends pas : comment faire une rotation autour d'un autre point que l'origine ? Si on le fait, comment est-ce que la phase ne change pas si on effectue une rotation ? Je crois que j'y pige rien à ce truc; et que je me ferais démonter par un de vous ^^

Merci beaucoup aux personnes qui liront ce message et prendront de leur temps pour me corriger et expliquer mes lacunes !

[aviateur]

Bonjour
Le mieux pour comprendre et de rester sur un exemple simple et aussi faire des petits dessins mais c'est pas facile ici.
Si tu prends qui est une fonction multiforme.
Pour z=rexp(it) posons une détermination de f(z).

Soit et tu dessine un lacet (une sorte de patate) qui par de qui part de
dans le sens trigo. et qui revient en

premier cas. 0 est à l'intérieur de ce lacet. Pour un point courant z de ce lacet, tu regardes sont argument. Il commence à augmente pour arriver à
Pendant ce temps f(z) varie de façon continue (donc si on faisait un tracé de la trajectoire de f(z) on a un courbe continue). Mais le point de départ est et le point d'arrivée
C'est pour cela que ta courbe n'est pas fermée.

Deuxième cas: 0 n'est à l'intérieur de ce lacet. Dans ce cas l'argument de z quand tu parcours ce lacet va varier de pour revenir à On a l'image par ce lacet est une courbe fermée.
A cause de cela 0 joue un rôle particulier pour la fonction f. zéro est un point de branchement.
alors en introduisant une coupure (par exemple une demi-droite d'origine zéro) la restriction de f
à l'ensemble privé de cette demi droite de défini une fonction uniforme holomorphe.
Je ne sais pas si j'ai bien répondu à ta question mais n'hésites pas à demander d'autres précisions.

[Yezu]

Bonjour,

Je ne sais comment te remercier d'avoir tant pris de ton temps pour m'expliquer mon problème ! Merci beaucoup !

Cependant, quelques incompréhensions persistent ):

1/ Est-ce que le que tu utilises c'est le même que celui que j'utilise dans ma 3ème question ? Si oui : est-ce qu'on aurait pu prendre n'importe quelle autre (par exemple qui n'appartient pas à l'image de la fonction, comme dans mes notes) ? De même, si on utilise ton , son argument ne part-il pas plutôt de (tu as écris ) ? Donc l'idée générale de ma première question : il sert à quoi exactement ici le ?

2/ Dans le deuxième cas, je ne comprends pas pourquoi si on revient en l'argument de reste inchangée : selon moi si on est revenu; on a obligatoirement fait une rotation de , pourquoi le fait que 0 ne soit pas à l'intérieur du lacet n'implique pas cette rotation ? Ça doit être évident mais je ne vois pas ..

3/ Le deuxième cas, est-ce que c'est pour prouver que n'est pas un point de branchement ou plutôt que n'en est pas un ? Si c'est pour 0, alors si on veut plutôt prouver que n'importe quel autre point n'est pas un point de branchement; il faut faire quoi exactement (cf ma 3ème question du premier post) ?

Désolé s'il y a des trucs que j'ai pas compris, mais je pense que si je comprends parfaitement le premier cas, toutes mes autres interrogations vont disparaître !

Merci encore une fois Aviateur !

[aviateur]

Non le z_0 n'est pas celui de la question .
Je reviens à mes explications avec quelque précisions car il me semble que tu a confondu z avec f(z).
Pour revenir à l'exemple (tout nombre complexe sauf 0 admet 3 racines cubique complexes donc on a une fonction dite multiforme ou multivariée, ce n'est qu'une question de vocabulaire) et
j'ai fait le choix d'une détermination sur les 3.
Une fois ce choix fait tu peux considérer une courbe particulière (i.e un lacet et pour simplifier tu peux prendre)
je désigne par G ce lacet que je vais parcourir une fois dans le sens trigonométrique.
Ce qu'il faut comprendre c'est quand on dit "que je vais parcourir) c'est z en tant qu'élément de l'ensemble de départ qui parcourt G. (Donc la tu peux faire un dessin).
Mais ce qu'il faut bien comprendre c'est que pendant que z parcourt G, f(z) parcourt une autre courbe
mais que l'on ne représente pas pour la simple raison que c'est peut être un peu compliqué et en tout cas pas nécessaire. Néanmoins cette courbe parcouru par f(z) on peut admettre quelle est continue.

La question qui se pose c'est que si z sur G part d'un point disons il va revenir en
Mais pendant ce temps f(z) va partir d'un point mais peut être ne reviendra pas en ce point.
Prenons un seul exemple (simple)
cas 1. On suppose que G=cercle de centre 0 de rayon 2 et on fait un tour en partant de 2 pour revenir à 2.
On peut paramétrer simple G par l'argument de z que j'appelle t. On a donc pour
Mais alors donc au départ tu as
et à l'arrivée quant tu t'approche de f(z) s'approche de
Ta courbe n'est pas fermée (ici c'est une portion de disque).
Il faut remarquer que 0 est dans le disque.
cas 2. Mais si zéros n'appartient pas à G que se passe-t-il? On prend comme exemple G=cercle de centre
3/2 et de rayon 1/2. z_0=2 appartient à G mais zéro n'est pas dans G.
Sans calcul mais avec un dessin il faut regarder comment ce comporte l'argument de z.
Au départ l'argument vaut 0 puis il augmente quant tu as fait 1/4 de tour. Et si tu continue l'argument de z
diminue, devient négatif et diminue jusque 3/4 de tour. Et là il augmente de nouveau jusque 0 pour finir le tour.
( à mon avis c'est ici la partie qu'il faut bien comprendre mais sans dessin ...)
Donc quant tu a fini ton tour l'image c'est encore f(z_0). Ton lacet est fermé.
On voit bien que pour préserver la continuité il faut éviter de contourner 0. D'où l'idée d'introduire une coupure pour définir la fonction uniforme.
Maintenant le point 3 c'est aussi ce que je viens d'expliquer. Si tu prend un z_0 différent de zéro pour montrer
(prenons comme exemple z_0=3/2) si tu prend lacet quelconque qui tourne autour de 3/2 (reprendre l'exemple au dessus pour comprendre) pourvu qu'il ne contienne pas zéro, l'image va être une courbe fermée.

Finalement une fois que l'on a compris cela on peut introduire une coupure d'origine le point de branche 0.
Par exemple la demi-droite D des réels alors la fonction f(z)=z^{1/3} définie (comme ci-dessus) sur C privé de D est alors une fonction uniforme et elle est holomorphe sur cette ensemble.

[Yezu]

Encore une fois, MERCI à toi aviateur; je pense avoir tout compris et mes interrogations ont trouvé réponses !

Bonne soirée.