Inéquation trigonométrie

[yenenn]

Bonjour a tous, je suis ici car je suis entrain de reviser et je bloque sur l'inéquation suivante:
cos (x) + sin(x)=rac(2)
car après je suis arrivé a cos(x)*sin(x)=1/2
Mais a partir de la je suis bloqué, donc je voudrais savoir comment faire.
Merci de votre aide

[Lostounet]

Bonjour a tous, je suis ici car je suis entrain de reviser et je bloque sur l'inéquation suivante:
cos (x) + sin(x)=rac(2)
car après je suis arrivé a cos(x)*sin(x)=1/2
Mais a partir de la je suis bloqué, donc je voudrais savoir comment faire.
Merci de votre aide

Sinon, moi j'écrirais par exemple que:

Cos(x)+sin(x)=racine(2)
Équivaut à:

Sin(pi/2-x)+sin(x)=racine(2)

Puis utiliser la formule qui donne sin(p)+sin(q) = ....

[Black Jack]

Salut,

Bonjour a tous, je suis ici car je suis entrain de reviser et je bloque sur l'inéquation suivante:
cos (x) + sin(x)=rac(2)
car après je suis arrivé a cos(x)*sin(x)=1/2
Mais a partir de la je suis bloqué, donc je voudrais savoir comment faire.
Merci de votre aide

OUI mais ... , tu dois être arrivé à ce que tu as trouvé par une élévation au carré (voir ci-dessous) :


cos(x) + sin(x)=rac(2)

(cos(x) + sin(x))² = (rac(2))² (Attention que ceci peut engendrer des solutions parasites ... il faudra donc vérifier si les solutions trouvées conviennent)

cos²(x) + sin²(x) + 2.sin(x).cos(x) = 2

1 + 2.sin(x).cos(x) = 2

cos(x)*sin(x)=1/2 ... c'est ce que tu as trouvé.

... qu'il vaudrait mieux écrire : sin(2x) = 1

Dont les solutions sont facile à trouver.

MAIS, il faut tenir compte de la remarque en rouge et ...

[yenenn]

ah oui desolé c'est une équation , mais j'ai fait (cos(x)*sin(x))^2=rac(2)^2
ensuite cos^2(x)+2*cos(x)*sin(x)+sin^2=2
1+2*cos(x)*sin(x)=2
2*cos(x)*sin(x)=1
cos(x)*sin(x)=1/2
mais cette méthode ne marche pas ?
sinon je vais essayé votre technique
Merci de votre aide

[Lostounet]

ah oui desolé c'est une équation , mais j'ai fait (cos(x)*sin(x))^2=rac(2)^2
ensuite cos^2(x)+2*cos(x)*sin(x)+sin^2=2
1+2*cos(x)*sin(x)=2
2*cos(x)*sin(x)=1
cos(x)*sin(x)=1/2
mais cette méthode ne marche pas ?
sinon je vais essayé votre technique
Merci de votre aide

Si elle marche bien sûr mais tu dois suivre le message de BlackJack.

Tu peux constater que pour tout x, sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2

[aviateur]

mais cette méthode ne marche pas ?
sinon je vais essayé votre technique

Bonjour
Personne ne t'as dit cela. Au contraire quand on se lance dans une méthode on l'a poursuit jusqu'au bout. Ici elle peut aboutir et c'est formateur.
Bien sûr tu peux faire autrement mais je te conseille de finir.

[aviateur]

pas vu!!!

[infernaleur]

Salut,
une autre méthode encore (l'idée est de faire apparaitre du cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) ou cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a) pour n'avoir que du cosinus ou que du sinus)

en divisant par l'équation on obtient :
Donc
Et donc tu utilise la formule de trigo pour obtenir :

[Ben314]

Salut,
Sinon, une méthode concon et n'utilisant quasiment pas de trigo., c'est tout bêtement de revenir à la définition de ce que sont le sinus et le cosinus : vu comme ça, l'énoncé nous demande de trouver les points (X,Y) qui sont à la fois sur le cercle trigo. et sur la droite d'équation X+Y=racine(2).
On peut alors ou bien y aller bourrin en écrivant que 1=X^2+Y^2=X^2+(racine(2)-X)^2 qui donne une équation du second degré en X, ou bien faire du un peu plus subtil par exemple en cherchant le projeté P du centre du cercle sur la droite puis en utilisant Pythagore pour savoir à quelle distance de P (sur la droite) sont situées les solutions.

[yenenn]

Salut,
une autre méthode encore (l'idée est de faire apparaitre du cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) ou cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a) pour n'avoir que du cosinus ou que du sinus)

en divisant par l'équation on obtient :
Donc
Et donc tu utilise la formule de trigo pour obtenir :

Merci de ton aide j'ai reussis a trouvé la solution qui est x=pi/4

[Lostounet]

Attention il y a une infinité de solutions.

Pi/4+2k*pi pour tout k entier

[nodgim]

J'aime bien la solution de Ben. Sinon, c'est rapide aussi en étudiant la fonction f(x)= s(x) + c(x). L'étude du signe de la dérivée donne un max qui correspond précisément à ce qui est demandé.