Syracuse, quand tu nous tiens....

[nodgim]

Voici une petite énigme liée à l'algorithme de Syracuse :

Prouver que pour tout n impair > 1 (qui aboutit à 1 par l'algorithme), il existe k et j tel que l'un des descendants impairs de (2^k+1) * n est un descendant direct de 3^j * n.

Par exemple, le 4ème descendant impair de 23 * 2049 est 233, et 233 est le descendant direct de 23*27.

Bonne recherche

[aviateur]

Bonjour
Intéressant.
Une question: c'est une conjecture ou alors ça se démontre?
dans le premier cas si c'est une conjecture du niveau de la conjecture de Syracuse alors....
Une autre question: est ce tu vois une conséquence pour la preuve de la conjecture initiale?

[nodgim]

Salut Aviateur.
ça se démontre, et assez facilement quand on a vu comment ça marchait, mais on suppose que n traité par l'algorithme aboutit à 1 ( j'ai ajouté cette précision dans l'énoncé).

Pas de conséquence particulière sur la conjecture proprement dite.

[aviateur]

Bonjour @nogdim
Bon, j'ai pas envie de chercher par paresse mais je suis curieux de voir la démo (à première vue c'est pas évident) . Donc si personne ne trouve la réponse j'espère voir la réponse quand tu estimeras que tu peux la donner.
De même je suis curieux de savoir ce qui t'a amené à voir cela, car effectivement cela me semble vrai.

[nodgim]

Je crois que tu as raison, c'est assez particulier, bien que peu de théorie derrière....

La réponse, d'abord, est que si "n" donne "1" après j+1 multiplications par 3 et k divisions par 2, alors le (j+1)ième nombre impair de la suite Syracuse de nombre origine " n * (2 ^ k+1) " sera le descendant direct du nombre " n * 3 ^ j ".

La raison : avec l'exemple du nombre 7 en binaire, qu'on traite par l'algorithme jusqu'à obtenir " 1 " :
Poids faible à gauche. Pour chaque ligne, c'est une multiplication par 3, additionné du " 1 ".
111
01101
0010001
00001011
0000000101
000000000001

Pas de division par 2, seulement un décalage vers la droite d'autant de rangs que de divisions par 2. Ici, le "1" final est obtenu après 11 décalages (11 fois division par 2). Par ailleurs " 1 " est obtenu après 5 lignes de traitement, soit 5 multiplications par 3.

Si on prend maintenant le nombre 7 *( 2 ^ 11 + 1 ) :
Le traitement du 7 à gauche est inchangé, c'est uniquement sur lui qu'on applique le " + 1 " de " 3 x + 1 " . Le 111 à droite est multiplié par 3 seulement, par de décalage de son 1er "1"

11100000000111
0110100000010101
00100010000111111
0000101100010111101
000000010101110110001

Donc 111 multiplié 4 fois par 3 donne seul : 1110110001
et 11100000000111 traité par l'algorithme donne 10101110110001

Ces 2 nombres traités une fois supplémentaire par l'algorithme donnent le même résultat : 1100101011

L'astuce est donc de faire coïncider le rang du " 1 " final du nombre à gauche avec le premier " 1 " du nombre à droite.

En décimal :

7 * 2049 = 14343 -----> 21515 ----> 32273 -----> 24205 ------> 9077 ------> 851

7 * 81 = 567 ------> 851.

[CAMI]

Comme vous n'avez rien compris vous oubliez que 2049 et 81 sont multiples de 3!
Le plus long vol possible sur une trajectoire de Syracuse est obtenue pour tout nombre de la forme :
2^N-1 et le maximum du vol est obtenu pour 3^(n-1)*2-1 mais peut être vous n'allez pas comprendre!
Salutations de Pierre CAMI !

[Ben314]

Comme vous n'avez rien compris vous oubliez que 2049 et 81 sont multiples de 3!
Le plus long vol possible sur une trajectoire de Syracuse est obtenue pour tout nombre de la forme :
2^N-1 et le maximum du vol est obtenu pour 3^(n-1)*2-1 mais peut être vous n'allez pas comprendre!
Salutations de Pierre CAMI !

Je confirme (que j'ai rien compris à ton Laïus).
C'est sensé être quoi le rapport entre la question de Nodgim et, par exemple, le fait que 2049 et 81 sont multiplies de 3 ?

[aviateur]

Bonjour @Nogdim peut être tu aurais dû appeler le titre "ESUCARYS quand tu nous tiens." Avec un peu de chance on aurait pu ne pas être perturbés.

Oui c'est bien observé.

[Lostounet]

Comme vous n'avez rien compris vous oubliez que 2049 et 81 sont multiples de 3!
Le plus long vol possible sur une trajectoire de Syracuse est obtenue pour tout nombre de la forme :
2^N-1 et le maximum du vol est obtenu pour 3^(n-1)*2-1 mais peut être vous n'allez pas comprendre!
Salutations de Pierre CAMI !

Et peut-être que toi tu n'as compris que tu ne comprends rien, ce qui est pire..

Bon je vais encore jouer le rôle du méchant... Cami, ton compte a été désactivé: merci de rejoindre d'autres forums de mathématiques pour discuter de la conjecture de Syracuse.

[nodgim]

Je profite de cette relance indue pour dire que cette petite énigme n'est que l'application d'une propriété plus large.

Soient les entiers naturels a, b, j, k, r.
Pour chaque r de l'ensemble {0,1,2,....2^k-1} il existe un couple {j,b}, indépendant de "a" tel que, pour tout "a" :
a * 2^k + r -------> 3 ^j + b
Cette propriété permet de faire des "sauts de puce" dans la suite de Syracuse. C'est une sous suite qui renvoie des nombres pairs ou impairs. Elle donne une idée sur la justification du caractère décroissant de la suite lorsque les "r" successifs sont aléatoires.