Bonjour
il me semble que j'ai la démo après avoir ramer mais c'est un peu long.
J'envoie le début mais je finirai plus tard. .
Je désigne par R la couleur rouge, B la couleur bleu et W la couleur blanche (white)
Soit E=[[1,2018]] et u l'application de E dans {R,B,W} qui désigne la couleur d'un nombre de E.
Sans restreindre la généralité quand je parcours E ds l'ordre croissant je rencontre les couleurs ds cet ordre: R , B, W.
C'est à dire que u(1)=R et avec
on a
et
Je suppose qu'il n'existe pas de triplet X+Y=Z tels que u(X),u(Y),u(z} soient trois couleurs différentes.
remarque pour tout z tel que z=x+y , l'égalité u(z)=u(x)+u(y) signifiera (d'après l'hypothèse) que u(z)=u(x) ou bien u(y).
Quelques lemmes
lemme 1: pour tout
preuve: en effet, w=j+(w-j) donc u(w)=u(j)+u(w-j)=W=R+u(w-j).
Mais comme
alors
. fin preuve
l
emme 2: u(w-b)=B.
preuve: en effet, w=b+(w-b) donc u(w)=u(b)+u(w-b)=W=B+u(w-j).
Mais comme
alors u(w-b)=B. fin preuve
remarque: le cas w-b=b n'est pas exclus.
Posons maintenant
Evidemment on a
Et rappelons que
Notons aussi:
Avec les notations précédentes
lemme 3. u(w+k)(=u(w_1)+k)=R, k=1,...,b-1preuve: u(w+k)=u(w)+u(k)=W+R. Mais aussi u(w+k)=u(b+(w-(b-k))=u(b)+u(w-(b-k))=B++u(w-(b-k))
mais b-k<b dc (cf lemme 1) u(w-(b-k))=R.
On a donc u(w+k)=B+R=W+R i.e u(w+k)=R. fin preuve.