Exercice prépa

[armand632]

Bonjour, j'ai un exercice où je ne comprend pas comment résoudre les problèmes posés.


On a, quelque soit x il appartient à R, 1+x< e^x
On a h(x)=(1+x)-e^x

1) quel est l'ensemble de définition ?

JE dirai -infini à +infini mais je vois pas comment le prouver

2) étudier les variations ? Ca facile, croissant jusqu'à -1 puis décroissant


3) en déduire l'inégalité à démontré ? Quel est l'interprétation graphique ? Je ne comprend pas cette question


La 4eme dépend de la troisième donc je verrai plus tard


MERCI DE VOTRE AIDE !!

[armand632]

Bon personne répond, mais peut etre que l'inégalité à démontrer est h(x)< 0 mais je suis pas sure ca me semble un peu évident

[pascal16]

On a h(x)=(1+x)-e^x

1) quel est l'ensemble de définition ?

JE dirai -infini à +infini mais je vois pas comment le prouver
(1+x) est définie sur R entier
e^x aussi
donc h(x) qui est leur différence aussi.

[aviateur]

Et puis "" c'est faux.

[pascal16]

soit pas si 'strict", jeu de mot.

quand les claviers auront la touche ≤, oui, là, il faudra sévir.

[aviateur]

Bonjour @pascal, je ne pensais pas être strict pour cette remarque.
surtout que je ne suis pas aussi sûr que soit un pb de clavier.
Maintenant mettre <= (à la place de <) c'est si rapide.

P.S hier, j'ai relevé une faute équivalente dans un autre post et @peuda a fait la même chose pour encore un autre post.

[pascal16]

C'est juste un jeu de mots, rien de plus. Et puis avec un un titre "prépa", on ne se contente pas d'approximations.

[MonteCristo]

1) L'ensemble de def est R ou "moins l'infini à plus l'infini" comme tu le dis simplement on a aucun problème de définition du type racine qui doit être positive ou fraction de dénominateur nul.
2)Faux. On dérive la fonction: h'(x)=1-exp(x) qui est positive de moins l'infini à 0 puis négatif ensuite. h est donc strictement croissante sur R- et strictement décroissante sur R+.
3) on montrer que h admet un maximum en 0 car elle est croissante puis décroissante. Cela veut dire que pour tout x dans R h(x)<= h(0). Or h(0)=0 donc (1+x)-exp(x)<=0 donc en passant le exp de l'autre côté on a bien l'inégalité.

[pascal16]

1+x< e^x est pas bon, c'est 1+x ≤ e^x