Théorème de Stokes et courbe frontière d'une surface

[Yezu]

Bonjour tout le monde,

Alors; dans mes révisions de Calcul Vectoriel, je suis tombé sur un truc qui me paraissait évident avant mais que je ne saisis plus du tout.

Dans l'utilisation du Théorème de Stokes, on est souvent obligé de déterminer la courbe frontière d'une surface.
Mais mon souci est que pour certaines surfaces cela m'est tout sauf évident.

Par exemple, pour une hémisphère orienté vers le haut de rayon , je n'arrive vraiment pas à comprendre pourquoi sa courbe frontière serait le cercle centré en et de rayon .
Selon moi son bord c'est la surface elle-même, qu'est-ce que vient faire ce cercle là dedans ?

Après mes recherches sur Internet, je suis tombé sur des trucs de topologie ou géométrie différentielle qui sont de véritables mystères (pour l"instant) pour moi ...

[Ben314]

Salut,
Si la notion de variété différentielle t'est inconnue, alors à mon avis, c'est que tu ne doit pas avoir de définition "parfaitement propre" de ce qu'est "le bord" d'une surface contenue dans R^3 (ce qui n'est pas particulièrement gênant si c'est uniquement pour appliquer le théorème de Stokes sur des exemple).
Donc on va rester sur une définition "naïve" : tu imagine une minuscule fourmi qui se déplace sur la surface en question et pour elle qui est toute petite, c'est "localement plat", c'est à dire qu'elle a l'impression de se déplacer sur un plan (exactement comme nous sur la terre) et d'avoir 360° de "liberté" pour choisir la direction dans laquelle elle va se déplacer.
Si à un endroit donné de la surface elle a effectivement 360° de "liberté de mouvement" alors c'est... qu'elle n'est pas "au bord" de la surface. Si elle n'a pas les 360° de liberté , c'est qu'elle est au bord (et le plus souvent, elle aura 180° de liberté si le "bord" est régulier ce qui est le cas sur tout les exemples simples.)

Par exemple avec ton histoire d'hémisphère (*), c'est exactement comme si tu avait un pays (sur la terre) constitué de tout l'hémisphère nord. Et "le bord", ben c'est la frontière du pays, c'est à dire l'équateur. C'est vrai qu'on pourrait éventuellement dire que tout tout les points du pays sont à la frontière vu qu'ils sont à la frontière avec le sous-sol et avec le ciel, sauf que c'est pas comme ça que ça marche la notion de frontière en géographie et que c'est pas comme ça que ça marche non plus la notion de "bord" lorsque l'on applique le théorème de Stockes.

Pour te donner d'autres exemple, une sphère complète, son bord, il est vide.
Un cylindre, son bord il est formé de deux cercles (celui du dessus et celui du dessous)

(*) Le fait que ton hémisphère soit "orienté vers le haut" ne change strictement rien à qui est son "bord". Par contre, ça va changer la façon dont on va orienter le bord en question.

[Yezu]

Franchement, je ne sais comment te remercier Ben !

Je comprends parfaitement (intuitivement) la notion de bord désormais !
J'espère avoir l'occasion de suivre un cours de Géométrie différentielle d'ici quelque temps, j'adore ce thème !