équation différentielle avec second membre récalcitrant

par **le fouineur** » 04 Nov 2006, 19:26

Bonjour à tous,

Je suis bloqué sur la résolution d'une équation différentielle que j'ai recupérée sur un autre forum mais non complètement résolue:il s'agit de:

y''+2*y'+5*y=Cos(2*x)*Exp(-x)

La résolution de l'équation associée sans second membre ne pose aucun problème particulier,je trouve:

Ygs=Exp(-x)*[Lambda*Cos(2*x)+Mu*Sin(2*x)]

Mais pour obtenir une solution particulière,c'est beaucoup plus compliqué:je ne sais pas s'il faut utiliser une identification pôlynomiale (assez difficile à mettre en place vu que le second membre est le produit de deux fonctions),oû utiliser la méthode de variation des constantes de Lagrange, mais là encore je me retrouve dans la difficulté d'exprimer les dérivées successives de mes deux fonctions pour pouvoir poser:

Ypa=Phi(x)*Cos(2*x)*Exp(-x)

De ce fait,je ne sais pas quelle méthode est la plus facile et surtout comment la mettre en oeuvre pour arriver à déterminer cette solution particulière....

Je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter

Cordialement le fouineur

par **nimitz** » 04 Nov 2006, 22:59

bonsoir,

pour la solution particulière, tu poses y''+2*y'+5*y=e^((-1+2i)x) , tu cherches la solution particulière de cette nouvelle équa diff (attention, -1+2i est racine de l'équation caractéristique), et tu prends la partie réelle de ta solution particulière qui sera la solution particulière de y''+2*y'+5*y=Cos(2*x)*e^(-x)

sauf erreur(s).

par **le fouineur** » 05 Nov 2006, 15:01

Bonjour nimitz,bonjour à tous,

J'ai testé la recette que tu m'as donné hier,mais le résultat n'a pas été convaincant:en effet après avoir dérivé la fonction que tu m'as aimablement proposée et après avoir appliqué les coeficients du polynôme caractéristique,il s'avère que tous les termes en sinus(2*x) et en cosinus(2*x)s'annihilent entre eux,et de ce fait il ne reste plus rien à identifier....
Mème punition et mème remède si je multiplie auparavant par x la fonction que tu m'as proposée à cause de la présence d'une racine simple du polynôme caractéristique: les termes s'annihilent toujours....

Toutefois merci d'avoir tenté quelque chose pour m'aider,à la lumière de ces nouveaux éclaircissements aurais-tu une autre idée qui puisse faire avancer les débats?

La solution à ce problème ne doit pas être d'une grande complexité étant donné que ma modeste caltoch,une TI 89 me fournit la réponse exacte en cinq secondes....Mais le plus dur est de démontrer cette réponse....

Cordialement le fouineur

par **nimitz** » 05 Nov 2006, 18:17

re-bonjour le fouineur,

je t'assure que ça fonctionne, j'ai trouvé comme solution particulière :

et c'est vérifié à la TI-92 Plus :happy3:

info: tu dois trouver

et en prendre la partie réelle.

Bonne chance et bonne rentrée !

par **le fouineur** » 08 Nov 2006, 07:05

Bonjour nimitz,

J' ai encore essayé de partir avec l'équation que tu m'as fournie:

y'' +2*y'+5*y= Exp[(-1+2*i)*x]

Mais je n'arrive à rien de concluant malgré le temps passé sur cette piste:je ne suis pas très à l'aise avec les équations différentielles étendues au champ complexe....D'ailleurs la TI 89 renvoie un message d'erreur: "false" si le second membre saisi comporte des parties imaginaires...
Je te suggère d'abandonner la méthode d'identification polynômiale que je ne suis pas en mesure de comprendre pour le moment.Essayons plûtot d'appliquer la méthode de variation des constantes qui est plus "bourrine" mais aussi plus générale:je vais te détailler ce que j'ai fait

Je pose h(x)=Cos(2*x)*Exp(-x) puis Ypa=Phi(x)*h(x)

Ensuite je calcule successivement:

d/dx[Phi(x)*h(x)]=Phi'(x)*h(x)+Phi(x)*h'(x)

d2/dx2[Phi(x)*h(x)]=d/dx[Phi'(x)*h(x)+Phi(x)*h'(x)]
=Phi''(x)*h(x)+Phi'(x)*h'(x)+Phi'(x)*h'(x)+Phi(x)*h''(x)

Et en reportant ces valeurs dans l'équation:

Phi''(x)*h(x)+2*Phi'(x)*h'(x)+Phi(x)*h''(x)+[2*Phi'(x)*h(x)+2*Phi(x)*h'(x)]
+5*Phi(x)*h(x)=Cos(2*x)*Exp(-x)

On peut tout de suite constater qu'aucun des termes ne se simplifient,ceux-ci étant tous différents:il y a donc une erreur manifeste dans l'application de la méthode de Lagrange mais pour le moment je ne vois pas oû elle se situe....

Pourrais-tu corriger mon raisonnement et établir une démonstration détaillée?

Post-Scriptum:

La solution que tu as donnée fonctionne bien:à savoir

y(x)=1/4*x*Exp(-x)*Sin(2*x)

Mais celle-ci (donnée par la TI 89) fonctionne tout aussi bien:

y(x)=Exp(-x)*[(K1+1/8)*Cos(2*x)+(K2+1/4x)*Sin(2*x)]

Explication????

Merci par avance pour ta réponse

Cordialement le fouineur

par **le fouineur** » 16 Nov 2006, 20:19

Bonjour à tous,

L' intervenant sur cette discussion ne s'étant plus manifesté sur le forum,est-ce que quelqu'un d'autre pourrait prendre le relais et m'aider à y voir clair avec cette équa diff? :marteau:

Merci d'avance pour vos réponses,

Cordialement le fouineur

par **jojboul** » 16 Nov 2006, 21:50

A mon avis tu poses une solution particulère dans C genre exp(iqqch)*exp(iréel) * constante et tu remplaces sa marche assurémment ;) oubli pas les coefficient et vérifie tes dérivées

par **jojboul** » 16 Nov 2006, 22:20

Lol pas clair mon message... je voulais dire une exponentielle réelle et une complexe

par **tize** » 17 Nov 2006, 00:09

Bonsoir le fouineur,

je ne comprends pas trop comment tu fais pour appliquer la méthode de la variation de la constante, ici l'équation est du second ordre ! la méthode est assez bien décrite ici avec un exemple...
bon courage

équation différentielle avec second membre récalcitrant

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