Valeurs absolues!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[grewolker]

Comment peut on passer de |x-4|+|x+6| = 12 à 2x4+(-24) = 12 ? (ici x est l'inconnue)

[Quidam]

Comment peut on passer de |x-4|+|x+6| = 12 à 2x4+(-24) = 12 ? (ici x est l'inconnue)

Lorsqu'on essaie de résoudre une équation, on tente de travailler "par équivalences". Cela veut dire que l'on essaie de remplacer une équation par une autre équation "équivalente" c'est-à-dire qui a les mêmes solutions.
Par exemple, si l'on a :
3x+2=0
On sait que les solutions de cette équation sont les mêmes que celles de l'équation :
3x+2-2=0-2
Car il existe un théorème qui dit que "Si A = B alors (A+K) = (B+K)" et réciproquement, "si (A+K)=B+K) alors A=B". Ainsi, on a transformé l'équation initiale en l'équation 3x=-2.

De même on sait que les solutions de l'équation 3x=-2 sont les mêmes que celles de l'équation :
(3x)/3 = -2/3
Car il existe un théorème qui dit que, à condition que K ne soit pas nul, "Si A = B alors (A/K) = (B/K)" et réciproquement, "si (A/K)=B/K) alors A=B". Ainsi, on a transformé l'équation "3x=-2" en l'équation x=-2/3.

Les équations "3x+2=0", "3x=-2" et "x=-2/3" ont toutes les trois les mêmes solutions. Comme la dernière "x=-2/3" a une unique solution évidente, x = -2/3, on en déduit que x=-2/3 est l'unique solution de l'équation initiale "3x+2=0".

Lorsqu'on essaie de résoudre une équation, disais-je, on tente de travailler "par équivalences". Malheureusement, ce n'est pas toujours possible ! Et dans ce cas-là on essaie de déduire d'autres équations de l'équation initiale.
Par exemple : Si A = B on sait que nécessairement A² = B². Mais réciproquement, Si A² = B² on ne peut pas être sûr que A = B, car A peut aussi être égal à -B ! Dans ce cas-là, les deux équations "A = B" et "A²=B²" ne sont pas équivalentes. Par contre, on sait quand même une chose : "Si A=B" alors, forcément, nécessairement, "A²=B²". S'il est plus facile de résoudre "A²=B²", pourquoi pas ? Simplement, il faut se rappeler que s'il est vrai que toutes les solutions de "A=B" sont des solutions de "A²=B²", réciproquement, il n'est pas sûr qu'une solution de A²=B² soit aussi solution de A=B ! C'est possible, mais pas certain.
Puisque toutes les solutions de "A=B" font partie des solutions de "A²=B²", on peut chercher ces dernières, quitte à vérifier pour chaque solution trouvée s'il s'agit ou non d'une solution de "A=B".

Revenons donc à ton problème. D'une part, on peut exprimer |A| par l'expression . En effet |A| est toujours égal à .
Donc l'équation :
|x-4|+|x+6| = 12
peut s'écrire :

Si on élève au carré chacun des deux membres, on obtiendra une équation, qui n'est pas équivalente à celle-ci, mais on sait que toute solution de [1] sera forcément solution de [2]:









Bon, je ne vais pas aller jusqu'au bout ! Si tu essayais de prendre le relais ?